Descripción
(Cercado) Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse?
Referencias:
Ejemplo 2. Sección 5-2 del Arya – Lardner. Cuarta Edición. Página 194.
Ejemplo 2. Sección 5-2 del Arya – Lardner. Quinta Edición. Página 190.
Solución.
Sean x e y las dimensiones del terreno.
En la figura siguiente se ilustra el terreno a cercar.
Cantidad de cerca a utilizar: C = x + 2 y
Puesto que la cantidad de cerca es conocida, se tiene:
x + 2 y = 200 (Ecuación 1)
La función objetivo es el área cercada, que se expresa de la siguiente manera:
A = x y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo A en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\(\displaystyle y = \frac{200-x}{2}\)
\(y = 100-\frac{1}{2}x\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( A\,(x) = x\,(100-\frac{1}{2}x)\)
\( A\,(x) = 100\,x-\frac{1}{2}x^2\)
\( A\,(x) = -\frac{1}{2}x^2+100\,x\), 0 ≤ x ≤ 200 (Ecuación 4)
Se ilustrarán dos mecanismos para obtener el extremo de la función A (x).
Primer mecanismo de solución.
La función A (x) es una función cuadrática. Al comparar la ecuación (4) con A (x) = a x2 + b x + c, se tiene que:
\( a = -\frac{1}{2}\), b = 100, c = 0
Siendo \( a = -\frac{1}{2}\) (a < 0), la función cuadrática es cóncava hacia abajo y por lo tanto presenta un máximo.
El valor de la abcisa que genera el punto máximo está dado por:
\( \displaystyle x=-\frac{b}{2\,a}\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x=-\frac{100}{2\,(-\frac{1}{2})}\)
\( \displaystyle x=-\frac{100}{-1}\)
x = 100
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 100 en la ecuación (3):
\(y = 100-\frac{1}{2}(100)\)
y = 100 – 50
y = 50
Conclusión.
Las dimensiones que generan el área máxima son:
x = 100 m
y = 50 m
Área máxima.
Para obtener el área máxima, se evalúa la función área (Ecuación 4) en x = 100.
Amax = A (100)
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(100)^2+100\,(100)\)
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(10000)+10000\)
A (100) = – 5000 + 10000
A (100) = 5000
Conclusión.
El área máxima es 5000 m2.
Segundo mecanismo de solución.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo del área:
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=-x+100\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1):
– x + 100 = 0
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
x = 100
Valor crítico: x = 100.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}=-1\)
Al evaluar en x = 100:
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=100}=-1\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=100}<0\), la función \( A\,(x) = -\frac{1}{2}x^2+100\,x\) presenta un máximo relativo en x = 100.
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 100 en la ecuación (3):
\(y = 100-\frac{1}{2}(100)\)
y = 100 – 50
y = 50
Finalmente, aplicamos el método tabular para determinar el extremo absoluto del área. La aplicación del método tabular consiste en evaluar la función objetivo en cada valor crítico así como en los extremos del intervalo que representa el dominio de la función.
En x = 0:
\( A\,(0) = -\frac{1}{2}(0)^2+100\,(0)\)
A (0) = 0
En x = 100:
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(100)^2+100\,(100)\)
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(10000)+10000\)
A (100) = – 5000 + 10000
A (100) = 5000
En x = 200:
\( A\,(200) = -\frac{1}{2}(200)^2+100\,(200)\)
\( A\,(200) = -\frac{1}{2}(40000)+20000\)
A (200) = – 20000 + 20000
A (200) = 0
|
x |
0 |
100 |
200 |
|
A (x) |
0 |
5000 |
0 |
El valor máximo del área ocurre en x = 100.
El valor máximo del área es: Amax = 5000.
Las dimensiones que generan el área máxima son:
x = 100 m
y = 50 m
Conclusión.
El área máxima es 5000 m2.
