Descripción
Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita un río que corre en línea recta, será cercado con alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del río, muestra la cantidad mínima de alambre que se precisaría si la longitud del campo es dos veces su ancho.
Referencia: Problema Resuelto 18. Capítulo 14 del Ayres – Mendelson. Quinta Edición. Página 112.
Solución.
Sean x e y las dimensiones del terreno.
En la figura siguiente se ilustra el terreno a cercar.
Área cercada: A = x y
Puesto que el área cercada es conocida, se tiene:
x y = A (Ecuación 1)
La función objetivo es la cantidad de cerca a utilizar, que se expresa de la siguiente manera:
C = x + 2 y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo C en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\(\displaystyle y = \frac{A}{x}\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle C\,(x) = x+2\,\left(\frac{A}{x}\right)\)
\( \displaystyle C\,(x) = x+\frac{2\,A}{x}\) (Ecuación 4)
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo de la cantidad de material:
\( \displaystyle \frac{d\,C}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,C}{d\,x}=1-\frac{2\,A}{x^2}\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1):
\( \displaystyle 1-\frac{2\,A}{x^2}=0\)
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
\( \displaystyle \frac{2\,A}{x^2}=1\)
x2 = 2 A
\( \displaystyle x=\pm\sqrt{2\,A}\)
\( \displaystyle x_1=-\sqrt{2\,A}\)
\( \displaystyle x_2=\sqrt{2\,A}\)
Valores críticos: \( \displaystyle x=-\sqrt{2\,A}\) y \( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\).
Puesto que se trata de números positivos, se analiza \( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\).
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}=\frac{4\,A}{x^3}\)
Al evaluar en \( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\):
\( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=\sqrt{2\,A}}=\frac{4\,A}{(\sqrt{2\,A})^3}=\frac{4\,A}{2\,A\sqrt{2\,A}}=\frac{2}{\sqrt{2\,A}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{A}}\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=\sqrt{2\,A}}>0\), la función \( \displaystyle C\,(x) = x+\frac{2\,A}{x}\) presenta un mínimo relativo en \( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\).
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de \( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\) en la ecuación (3):
\(\displaystyle y = \frac{A}{\sqrt{2\,A}}\)
\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{2}}\)
\( \displaystyle y=\frac{1}{2}\sqrt{2\,A}\)
Conclusión.
Las dimensiones buscadas son:
\( \displaystyle x=\sqrt{2\,A}\)
\( \displaystyle y=\frac{1}{2}\sqrt{2\,A}\)
Relación entre las longitudes.
\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{2\,A}}{\frac{1}{2}\sqrt{2\,A}}\)
\( \displaystyle \frac{x}{y}=2\)
x = 2 y
Conclusión.
La cantidad mínima de alambre que se precisa ocurre cuando la longitud del campo es dos veces su ancho.
