Descripción
El departamento de carreteras plantea construir un área de picnic para automovilistas al lado de una carretera principal. Será rectangular, tendrá un área de 5000 yardas2 y estará cercado por los tres lados no adyacentes a la carretera. ¿Cuál es la menor cantidad de cerca que será necesaria para completar el trabajo?
Referencia:
Ejemplo 4.2 del Hoffman / Bradley. Quinta Edición. Página 205.
Solución.
Sean x e y las dimensiones del terreno.
En la figura siguiente se ilustra el terreno a cercar.
Área cercada: A = x y
Puesto que el área cercada es conocida, se tiene:
x y = 5000 (Ecuación 1)
La función objetivo es la cantidad de cerca a utilizar, que se expresa de la siguiente manera:
C = x + 2 y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo C en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\(\displaystyle y = \frac{5000}{x}\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( \displaystyle C\,(x) = x+2\left(\frac{5000}{x}\right)\)
\( \displaystyle C\,(x) = x+\frac{10000}{x}\) (Ecuación 4)
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo de la cantidad de material:
\( \displaystyle \frac{d\,C}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,C}{d\,x}=1-\frac{10000}{x^2}\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1):
\( \displaystyle 1-\frac{10000}{x^2}=0\)
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
\( \displaystyle \frac{10000}{x^2}=1\)
x2 = 10000
\( \displaystyle x=\pm\sqrt{10000}\)
x1 = – 100
x2 = 100
Valores críticos: x = – 100 y x = 100.
Puesto que se trata de números positivos, se analiza x = 100.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}=\frac{20000}{x^3}\)
Al evaluar en x = 100:
\( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=100}=\frac{20000}{(100)^3}=\frac{1}{50}\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2C}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=100}>0\), la función \( \displaystyle C\,(x) = x+\frac{10000}{x}\) presenta un mínimo relativo en x = 100.
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 100 en la ecuación (3):
\(\displaystyle y = \frac{5000}{100}\)
y = 50
Cantidad de cerca necesaria.
Para obtener la cantidad mínima de cerca necesaria, se evalúa la función cantidad de cerca (Ecuación 4) en x = 100.
Cmin = C (100)
\( \displaystyle C\,(100) = (100)+\frac{10000}{(100)}\)
C (100) = 100 + 100
C (100) = 200
Conclusión.
La cantidad mínima de cerca es 200 yardas.
