Descripción
Calcular \( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u\)
Referencia: Ejemplo 6. Sección 10.6 del Larson. Segunda Edición. Página 469.
Solución.
El integrando tiene la forma , se hace la sustitución:
| u = a sen θ | d u = a cos θ d θ | \( \displaystyle \sqrt{a^2 – u^2} = \sqrt{a^2 – (a \sin \theta)^2} \) |
| \( \displaystyle \sqrt{a^2 – u^2} = \sqrt{a^2 – a^2\sin^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – u^2}= \sqrt{a^2\,(1-\sin^2 \theta)} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – u^2}= \sqrt{a^2\,\cos^2 \theta} \) | ||
| \(\displaystyle\sqrt{a^2 – u^2}= a\cos \theta \) |
Al sustituir \( \displaystyle \sqrt{a^2 – u^2} = a\cos \theta\) y d u = a cos θ d θ en la integral:
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\int(a\cos\theta)\,(a\cos\theta\,d\,\theta)\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\int a^2\cos^2\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=a^2\int \cos^2\theta\,d\,\theta\)
La integral anterior se resuelve aplicando integración de potencias de funciones trigonométricas.
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=a^2\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\,\theta\right)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\int d\,\theta+\frac{1}{2}a^2\int \cos 2\,\theta\,d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{2}a^2(\frac{1}{2}\sin 2\,\theta)+C\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{4}a^2\sin 2\,\theta+C\)
Para volver a la variable inicial, no es posible definir en forma directa sen 2 θ en función de x, por lo cual se aplica la identidad sen 2 θ = 2 sen θ cos θ
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{4}a^2\,(2\,\sin\theta\,\cos\theta)+C\)
\( \displaystyle \int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\theta+\frac{1}{2}a^2\sin \theta\,\cos\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir θ, sen θ y cos θ en función de u.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
u = a sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{u}{a}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es u e hipotenusa es a. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\) coincide con la expresión que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define θ, sen θ y cos θ.
\( \displaystyle \theta=\sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)\) (2)
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{u}{a}\) (3)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{a^2-u^2}}{a}\) (4)
Al sustituir las ecuaciones (2), (3) y (4) en la ecuación (1):
\( \displaystyle\int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\left[\sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)\right]+\frac{1}{2}a^2\left(\frac{u}{a}\right)\,\left(\frac{\sqrt{a^2-u^2}}{a}\right)+C\)
\( \displaystyle\int\sqrt{a^2-u^2}\,d\,u=\frac{1}{2}a^2\sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+\frac{1}{2}u\sqrt{a^2-u^2}+C\)
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