Descripción
Calcular \( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x\)
Referencias:
Ejemplo 116 del Filippis. Página 291.
Ejemplo 6.4 del Cortés. Octava Edición. Página 168.
Ejercicio 11. Sección 7.5 del Salas – Hille. Página 387.
Problema 61. Capítulo 32 del Ayres – Mendelson. Quinta Edición. Página 273.
Ejercicio 13. Sección 7.3 del Stewart. Tercera Edición. Página 434.
Ejercicio 15. Sección 7.3 del Stewart. Cuarta Edición. Página 489.
Solución.
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
| x = a sen θ | d x = a cos θ d θ | \( \displaystyle (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2-(a\sin\theta)^2]^{\frac{3}{2}}\) |
| \( \displaystyle (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2-a^2\sin^2\theta]^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}=[a^2(1-\sin^2\theta)]^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}=(a^2\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}\) | ||
| \( \displaystyle (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}= a^3\cos^3\theta\) |
Al sustituir x = a sen θ, y d x = a cos θ d θ en la integral:
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\frac{(a\,\sin\theta)^2(a\,cos\theta\,d\,\theta)}{a^3\cos^3\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\frac{a^2\sin^2\theta\times a\,cos\theta\,d\,\theta}{a^3\cos^3\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\frac{a^3\sin^2\theta\,cos\theta\,d\,\theta}{a^3\cos^3\theta}\)
Al simplificar a3 y un factor cos θ:
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\frac{\sin^2\theta\,d\,\theta}{\cos^2\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\tan^2\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int(\sec^2\theta-1)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\int\sec^2\theta\,d\,\theta-\int d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\tan\,\theta-\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir tan θ y θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x = a sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{a}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es a. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define tan θ.
\( \displaystyle \tan\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\) (2)
\( \displaystyle \theta=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\) (3)
Al sustituir las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1):
\( \displaystyle \int\frac{x^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}d\,x=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}-\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)
Valoraciones
No hay valoraciones aún.