Descripción

DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL

Espacio numérico tridimensional

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por ℝ³.

ℝ³ = { ( x , y , z ) / x, y, z ∈ ℝ }

Sistema de coordenadas tridimensional

Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y.

Las tres rectas, perpendiculares entre sí, se intersectan en un punto llamado origen y denotado por O. Estas rectas, denominadas ejes de coordenadas se designan como el eje x, eje y y eje z. La figura siguiente muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas.

Por lo común, los ejes x y y se consideran en un plano horizontal, y el eje z vertical.

Los tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano x y que contiene a los ejes x y y, el plano x z que contiene a los ejes x y z, y el plano y z que contiene a los ejes y y z.

Ecuación	Descripción cartesiana
x = 0	Plano coordenado y z
y = 0	Plano coordenado x z
z = 0	Plano coordenado x y
x = a	Plano paralelo al plano y z
y = a	Plano paralelo al plano x z
z = a	Plano paralelo al plano x y

Los tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho partes denominadas octantes. El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas.

Notación	Nombre	x	y	z
I	Primer octante	x > 0	y > 0	z > 0
II	Segundo octante	x < 0	y > 0	z > 0
III	Tercer octante	x < 0	y < 0	z > 0
IV	Cuarto octante	x > 0	y < 0	z > 0
V	Quinto octante	x > 0	y > 0	z < 0
VI	Sexto octante	x < 0	y > 0	z < 0
VII	Séptimo octante	x < 0	y < 0	z < 0
VIII	Octavo octante	x > 0	y < 0	z < 0

La orientación presentada es la de uso más frecuente y una de las seis posibles que pueden tener los ejes de coordenadas en el sistema de coordenadas tridimensional. Las cinco orientaciones restantes son:

Incluso puede variar la orientación positiva del eje.

Punto.

Los elementos del conjunto ℝ³ se llaman puntos en ℝ³. Si A ( x , y , z ) es un punto en ℝ³, los números x, y y z se llaman coordenadas cartesianas del punto A, y se escriben como A ( x , y , z ).

Cada terna ordenada P ( x , y , z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.

Las coordenadas del punto son:

Coordenada x = distancia dirigida que va del plano y z al punto P.

Coordenada y = distancia dirigida que va del plano x z al punto P.

Coordenada z = distancia dirigida que va del plano x y al punto P.

Estas tres coordenadas se denominan coordenadas cartesianas rectangulares de P, y existe una correspondencia uno a uno, denominada sistema coordenado cartesiano rectangular, entre las ternas ordenadas de números reales y los puntos del espacio geométrico tridimensional. En consecuencia, se identifica ℝ³ con el espacio geométrico tridimensional.

Es importante mencionar que la nomenclatura para escribir las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional es universal, y la primera componente está referida a la distancia dirigida a lo largo del eje x, la segunda componente a la distancia dirigida a lo largo del eje y y la tercera componente a la distancia dirigida a lo largo del eje z. Independientemente de la forma que tiene el sistema de coordenadas, la notación para las coordenadas de un punto es invariable.

Si dos de las coordenadas de un punto son iguales a cero, entonces dicho punto se encuentra sobre uno de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, el punto ( 4 , 0 , 0 ) se encuentra sobre el eje x, el punto ( 0 , 7, 0 ) se encuentra sobre el eje y y el punto ( 0 , 0 , – 2 ) se encuentra sobre el eje z.

Si sólo una de las coordenadas de un punto es igual a cero, entonces dicho punto se encuentra sobre uno de los planos coordenados. Por ejemplo, el punto ( 1 , 6 , 0 ) se encuentra sobre el plano x y, el punto ( 0 , – 4 , 6 ) se encuentra sobre el plano y z y el punto ( – 5 , 0 , 4 ) se encuentra sobre el plano x z.

En la figura siguiente se muestran los puntos citados en los dos párrafos anteriores y algunos puntos adicionales.