Descripción

MÉTODO DE FALSA POSICIÓN (REGLA FALSA, REGULA FALSI O INTERPOLACIÓN LINEAL).

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos la gráfica:

Figura 1. Aplicación del método de regla falsa.

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo [ a , b ].

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función f (x) que es continua en el intervalo [ a , b ] y además, f (a) y f (b) tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ( a , f (a) ) y ( b , f (b) ). Sabemos que la pendiente de esta recta está dada por:

\(\displaystyle m = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}\)

Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por ( b , f (b) ) es:

\(\displaystyle y-f(b) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-b)\)

Para obtener el corte con el eje x, hacemos y = 0:

\(\displaystyle -f(b) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-b)\)

Multiplicando por a – b nos da:

– f (b) (a – b) = [f (a) – f (b)] (x – b)

Finalmente, de aquí despejamos x:

\(\displaystyle x = b-\frac{f(b)(a-b)}{f(a)-f(b)}\)

Este punto es el que toma el papel de x_i en lugar del punto medio del método de bisección. La fórmula iterativa del método de regla falsa es:

\(\displaystyle x_i = b-\frac{f(b)(a-b)}{f(a)-f(b)}\) (1)

Una fórmula alternativa para la aplicación del método se obtiene al sustituir el punto ( a , f (a) ) en la ecuación de la recta buscada:

\(\displaystyle x_i = a-\frac{f(a)(a-b)}{f(a)-f(b)}\) (2)

Las ecuaciones (1) y (2) pueden escribirse en la forma siguiente:

\(\displaystyle x_i = b-\frac{f(b)}{\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}\) (3)

\(\displaystyle x_i = a-\frac{f(a)}{\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}\)

Requisitos para la aplicación del método de regla falsa.

Para la aplicación del método de regla falsa, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función f (x) = 0.

b) Un intervalo [ a , b ] que contenga a la raíz de la ecuación, para lo cual es necesario que la función evaluada en los extremos del intervalo tenga signos diferentes, esto es f (a) × f (b) < 0.

c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.

El método de regla falsa se realiza con los siguientes pasos:

i) Definir f (x). Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las raíces debe ser continua en el intervalo [ a , b ] y contener sólo una raíz en dicho intervalo.

ii) Encontrar el intervalo [ a , b ] tales que f (a) y f (b) tienen signos opuestos, es decir, f (a) × f (b) < 0.

iii) La fórmula iterativa del método es:

\(\displaystyle x_i = b-\frac{f(b)(a-b)}{f(a)-f(b)}\)

donde el intervalo [ a , b ] que contiene a la raíz se redefine en cada iteración dependiendo del signo que adopta la función en x_i, esto es, dependiendo del signo de f (x_i).

iv) Evaluar f (x_i). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

f (a) × f (x_i) < 0: En este caso, tenemos que f (a) y f (x_i) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  [ a , x_i ].

f (a) × f (x_i) > 0: En este caso, tenemos que f (a) y f (x_i) tienen el mismo signo, y de aquí que f (x_i) y f (b) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [ x_i , b ].

f (a) × f (x_i) = 0: En este caso se tiene que f (x_i) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz. 

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que se complete el número de iteraciones indicadas ó

ε_a < ε_s, es decir, \(\displaystyle \bigg\vert \frac{\text{Aproximación actual}-\text{Aproximación anterior}}{\text{Aproximación actual}}\bigg\vert\times 100<\epsilon_s\).

Algoritmo del método de falsa posición.

Para encontrar una solución de f (x) = 0, dada la función continua f en el intervalo [ a , b ] donde f (a) y f (b) tienen signos opuestos:

ENTRADA: Extremos a, b; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar i = 1.

Paso 2. Mientras que i ≤ N, seguir Pasos 3 – 6.

            Paso 3. Tomar \(\displaystyle x_i = a-\frac{f(a)}{\frac{f(a)-f(b)}{a-b}}\). (Calcular x_i).

            Paso 4. Determinar f (x_i). Si f (x_i) = 0 ó \(\displaystyle \frac{|x_i-x_{i-1}|}{|x_i|}<TOL\) entonces

                        SALIDA (x_i); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

                        PARAR.

            Paso 5. Si f (a) × f (x_i) > 0, entonces tomar a = x_i (Calcular a_i, b_i).

 si no, tomar b = x_i.

            Paso 6. Tomar i = i + 1.

Paso 7. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”); (Procedimiento completado sin éxito).

            PARAR.

Desventajas del método de la falsa posición.

Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente. En efecto, hay ciertos casos donde el método de bisección ofrece mejores resultados.

El ejemplo anterior ilustra que, por lo común no es posible realizar generalizaciones con los métodos de obtención de raíces. Aunque un método como el de la falsa posición casi siempre es superior al de bisección, hay algunos casos que violan esa conclusión general. Por lo tanto, además de usar la ecuación

\(\displaystyle \epsilon_a<\bigg\vert \frac{\text{Aproximación actual}-\text{Aproximación anterior}}{\text{Aproximación actual}}\bigg\vert\times 100\)

los resultados se deben verificar sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación original y determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba se debe incorporar en todos los programas que localizan raíces.

El ejemplo ilustra también una importante desventaja del método de la falsa posición: su unilateralidad. Es decir, conforme se avanza en las iteraciones, uno de los puntos limitantes del intervalo tiende a permanecer fijo. Esto puede llevar a una mala convergencia, especialmente en funciones con una curvatura importante. La sección siguiente ofrece una solución.

Resumen del método de falsa posición.

a) El método de la falsa posición es esencialmente igual al método de la bisección, excepto que el segundo método se reemplaza por la interpolación lineal.

b) El método de la falsa posición no necesariamente es más rápido que el método de bisección, debido a que un extremo puede permanecer fijo.

c) El método de la falsa posición modificada elimina los extremos fijos dividiendo a la mitad los valores de dichos puntos.

Precauciones en el uso de métodos cerrados.

En general, si f (a) y f (b) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces en el intervalo. La raíz será única sólo si la función es monótona en el intervalo.

Figura 2. Si la función tiene signos diferentes en los puntos extremos, entonces habrá un número impar de raíces dentro del intervalo.

Si f (a) y f (b) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas entre los valores.

Figura 3. Si la función tiene el mismo signo en los puntos extremos, entonces no habrá raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas.

            Aunque dichas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las funciones tangenciales al eje x y las funciones discontinuas pueden violar estos principios.

Figura 4. (a) Aunque los puntos extremos son de signos opuestos, hay un número par de intersecciones con el eje x en el intervalo. (b) Los puntos extremos son de signo opuesto y no existe raíz.