Descripción
Determine la derivada de f ( x , y , z ) = x2 + y2 + z2 en la dirección del vector unitario tangente a la hélice r (t) = (cos t) i + (sen t) j + t k en t = π / 4.
Solución.
Derivada direccional.
DUf = ∇ f . U
Coordenadas del punto de evaluación.
El punto de evaluación de la derivada direccional se obtiene evaluando la función posición de la hélice r (t) = (cos t) i + (sen t) j + t k en t = π / 4.
r (π / 4) = [cos (π / 4)] i + [sen (π / 4)] j + (π / 4) k
\(\displaystyle \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{j}+\frac{\pi}{4}\mathbf{k}\)
Punto de evaluación.
\(\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)\)
Gradiente de la función.
\(\displaystyle \nabla\,f\,(x,y,z)=\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,x}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,y}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,z}\right)\mathbf{k}\)
Función f ( x , y , z ) = x2 + y2 + z2
Derivada parcial de f con respecto a x:
\(\displaystyle \frac{\partial\,f}{\partial\,x}=2\,x\)
Derivada parcial de f con respecto a y:
\(\displaystyle \frac{\partial\,f}{\partial\,y}=2\,y\)
Derivada parcial de f con respecto a z:
\(\displaystyle \frac{\partial\,f}{\partial\,z}=2\,z\)
Vector gradiente.
∇ f ( x , y , z ) = (2 x) i + (2 y) j + (2 z) k
Evaluación del gradiente en el punto \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)\).
Al sustituir \(\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\displaystyle z=\frac{\pi}{4}\) en el gradiente:
\(\displaystyle \nabla\,f\,\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\mathbf{i}+2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\mathbf{j}+2 \left(\frac{\pi}{4}\right)\mathbf{k}\)
\(\displaystyle \nabla\,f\,\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\mathbf{i}+\sqrt{2}\,\mathbf{j}+\frac{\pi}{2}\mathbf{k}\)
Vector unitario de dirección.
El vector unitario de dirección es el vector unitario tangente a la curva de posición.
\(\displaystyle \mathbf{T}(t_0)= \frac{\mathbf{r}^{\prime}(t_0)}{\|\mathbf{r}^{\prime}(t_0)\|}\)
Vector posición.
r (t) = (cos t) i + (sen t) j + t k
Derivada del vector posición.
r′ (t) = (– sen t) i + (cos t) j + k
Evaluamos este vector tangente en t = π / 4:
r′ (π / 4) = [– sen (π / 4)] i + [cos (π / 4)] j + k
\(\displaystyle \mathbf{r}^{\prime} \left(\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{ \sqrt{2}}{2}\mathbf{j}+\mathbf{k}\)
Módulo de r′ (π / 4).
\(\displaystyle \left\|\,\mathbf{r}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right\|=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+(1)^2}\)
\(\displaystyle \left\|\,\mathbf{r}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}+1}\)
\(\displaystyle \left\|\,\mathbf{r}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right\|=\sqrt{2}\)
Vector tangente unitario.
\(\displaystyle \mathbf{T}\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\mathbf{r}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\left\|\mathbf{r}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right\|}\)
\(\displaystyle \mathbf{T}\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{ \sqrt{2}}{2}\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \mathbf{T}\left(\frac{\pi}{4}\right)= -\frac{1}{2}\mathbf{i}+\frac{1}{2}\mathbf{j}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{k}\)
Derivada direccional.
DUf = ∇ f . U
Sustituimos el gradiente y el vector unitario:
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=\left(\sqrt{2}\,\mathbf{i}+\sqrt{2}\,\mathbf{j}+\frac{\pi}{2}\mathbf{k}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\mathbf{i}+\frac{1}{2}\mathbf{j}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{k}\right)\)
Desarrollando el producto escalar obtenemos:
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=(\sqrt{2})\left(- \frac{1}{2}\right)+(\sqrt{2})\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\)
