Descripción
Si f ( x , y ) = x2 + x y + y2 – x, encuentre todos los puntos en que DUf ( x , y ) sea cero en la dirección de \(\displaystyle \mathbf{U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j}\).
Referencia:
Examen Parcial. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui.
Solución.
La derivada direccional es nula: DUf ( x , y ) = 0
Sabemos que DUf = ∇ f . U, luego:
∇ f . U = 0
Gradiente de la función.
\(\displaystyle \nabla f\,(x,y)=\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,x}\right)\,\mathbf{i}+\left(\frac{\partial\,f}{\partial\,y}\right)\,\mathbf{j}\)
Función: f ( x , y ) = x2 + x y + y2 – x
Derivada parcial de f con respecto a x:
\(\displaystyle \frac{\partial\,f}{\partial\,x}=2\,x+y-1\)
Derivada parcial de f con respecto a y:
\(\displaystyle \frac{\partial\,f}{\partial\,y}=x+2\,y\)
Vector gradiente.
∇ f ( x , y ) = (2 x + y – 1) i + (x + 2 y) j
Vector unitario de dirección.
\(\displaystyle \mathbf{U}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j}\)
Derivada direccional.
DUf = ∇ f . U
Sustituimos el gradiente y el vector unitario:
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\,(x,y)=[(2\,x+y-1)\,\mathbf{i}+(x+2\,y)\,\mathbf{j}]\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{j}\right)\)
Desarrollando el producto escalar obtenemos:
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\,(x,y)=(2\,x+y-1)\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)+(x+2\,y)\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\)
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\,(x,y)=\frac{2\,x+y-1}{\sqrt{2}}+\frac{x+2\,y}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\,(x,y)=\frac{2\,x+y-1+x+2\,y}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle D_{\mathbf{U}}f\,(x,y)=\frac{3\,x+3\,y-1}{\sqrt{2}}\)
Puesto que DUf ( x , y ) = 0, se tiene:
\(\displaystyle \frac{3\,x+3\,y-1}{\sqrt{2}}=0\)
3 x + 3 y – 1 = 0
La derivada direccional es cero en los puntos que pertenecen a la recta 3 x + 3 y – 1 = 0.
