Descripción
Determine la raíz de x2 – e – x = 0 en el intervalo [ – 1 , 2 ] usando el método de bisección con tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en cada iteración.
Solución.
– Ecuación a resolver: x2 – e – x = 0.
– Un intervalo que contiene la solución es [ – 1 , 2 ], de donde: a = – 1 y b = 2.
– Se ejecutarán 3 iteraciones.
Desarrollo del método de bisección.
i) Definimos f (x) = x2 – e – x.
ii) Verificamos la existencia de una raíz en el intervalo dado.
f (a) = f (–1) = (–1)2 – e –(–1) = – 1.71828182846
f (b) = f (2) = (2)2 – e –(2) = 3.86466471676
Puesto que la función evaluada en los extremos del intervalo tiene signos opuestos, se cumple que f (a) × f (b) < 0.
Gráficamente:
Condiciones para la aplicación del método de bisección para f (x) = x2 – e – x en [ – 1 , 2 ].
iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.
Primera iteración (i = 1). a1 = – 1, b1 = 2.
\(\displaystyle x_1=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}=0.5\)
iv) f (x1) = f (0.5) = (0.5)2 – e –(0.5) = – 0.35653065971
La tabla siguiente resume los resultados de la primera iteración:
|
i |
ai |
bi |
xi |
f (ai) |
f (bi) |
f (xi) |
|
1 |
-1 |
2 |
0.5 |
-1.71828182846 |
3.86466471676 |
-0.35653065971 |
f (x1) tiene el mismo signo que f (a), a2 = x1
Intervalo que contiene la solución: [ 0.5 , 2 ].
En la figura siguiente se observa el principio del método. El intervalo original [ – 1 , 2 ] se ha dividido a la mitad, lo cual conduce a dos intervalos: [ – 1 , 0.5 ] y [ 0.5 , 2 ]. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.
Primera iteración del método de bisección para f (x) = x2 – e – x en [ – 1 , 2 ].
En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [ 0.5 , 2 ].
Segunda iteración (i = 2). a2 = 0.5, b2 = 2.
\(\displaystyle x_2=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{0.5+2}{2}=\frac{2.5}{2}=1.25\)
f (x2) = f (1.25) = (1.25)2 – e –(1.25) = 1.27599520314
La tabla siguiente resume los resultados de la segunda iteración:
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i |
ai |
bi |
xi |
f (ai) |
f (bi) |
f (xi) |
|
1 |
-1 |
2 |
0.5 |
-1.71828182846 |
3.86466471676 |
-0.35653065971 |
|
2 |
0.5 |
2 |
1.25 |
-0.35653065971 |
3.86466471676 |
1.27599520314 |
f (x2) tiene el mismo signo que f (b), b3 = x2
Intervalo que contiene la solución: [ 0.5 , 1.25 ].
Gráficamente:
Segunda iteración del método de bisección para f (x) = x2 – e – x en [ – 1 , 2 ].
Aquí podemos calcular el primer error relativo porcentual de aproximación, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación anterior:
\(\displaystyle \epsilon_{a,2}=\bigg\vert \frac{x_2-x_1}{x_2}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert \frac{1.25-0.5}{1.25}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert \frac{0.75}{1.25}\bigg\vert\times 100=60\text{%}\)
Tercera iteración (i = 3). a3 = 0.5, b3 = 1.25.
\(\displaystyle x_3=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{0.5+1.25}{2}=\frac{1.75}{2}=0.875\)
f (x3) = f (0.875) = (0.875)2 – e –(0.875) = 0.34876298032
La tabla siguiente resume los resultados de la tercera iteración:
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i |
ai |
bi |
xi |
f (ai) |
f (bi) |
f (xi) |
|
1 |
-1 |
2 |
0.5 |
-1.71828182846 |
3.86466471676 |
-0.35653065971 |
|
2 |
0.5 |
2 |
1.25 |
-0.35653065971 |
3.86466471676 |
1.27599520314 |
|
3 |
0.5 |
1.25 |
0.875 |
-0.35653065971 |
1.27599520314 |
0.34876298032 |
f (x3) tiene el mismo signo que f (b), b3 = x3
Intervalo que contiene la solución: [ 0.5 , 0.875].
Gráficamente:
Tercera iteración del método de bisección para f (x) = x2 – e – x en [ – 1 , 2 ].
Obsérvese que el método va encerrando la raíz en un intervalo cada vez más pequeño.
Error relativo porcentual de aproximación.
\(\displaystyle \epsilon_{a,3}=\bigg\vert \frac{x_3-x_2}{x_3}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert \frac{0.875-1.25}{0.875}\bigg\vert\times 100=\bigg\vert \frac{-0.375}{0.875}\bigg\vert\times 100=42.86\text{%}\)
Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente tabla:
|
i |
ai |
xi |
bi |
f (ai) |
f (xi) |
f (bi) |
|
1 |
-1 |
0.5 |
2 |
-0.71828182846 |
-0.35653065971 |
3.86466471676 |
|
2 |
0.5 |
1.25 |
2 |
-0.35653065971 |
1.27599520314 |
3.86466471676 |
|
3 |
0.5 |
0.875 |
1.25 |
-0.35653065971 |
0.34876298032 |
1.27599520314 |
La solución de la ecuación x2 – e – x = 0 es x3 = 0.875, obtenida aplicando el método de bisección en el intervalo [ – 1 , 2 ] con tres iteraciones. El error relativo porcentual de aproximación es 42.86%.
