Fundamentos teóricos.

Descripción

El modelo de onda progresiva.

La figura

muestra una instantánea de una onda móvil a través de un medio.

Un punto en la figura en el que el desplazamiento del elemento de su posición normal está más alto se llama cresta de la onda. El punto más bajo se llama valle. La distancia de una cresta a la siguiente se llama longitud de onda, λ (letra griega lambda). De manera más general, la longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera en ondas adyacentes, como se muestra en la figura.

La figura

muestra una gráfica de la posición de un elemento del medio como función del tiempo.

Si usted cuenta el número de segundos entre las llegadas de dos crestas adyacentes en un punto determinado en el espacio, debe medir el periodo T de las ondas. En general, el periodo es el intervalo de tiempo requerido para que dos puntos idénticos de ondas adyacentes pasen por un punto, como se muestra en la figura. El periodo de la onda es el mismo que el periodo de oscilación armónica simple de un elemento del medio.

La misma información a menudo se conoce por el recíproco del periodo, que se llama frecuencia f. En general, la frecuencia de una onda periódica es el número de crestas (o valles o cualquier otro punto en la onda) que pasa por un punto determinado en un intervalo de tiempo unitario. La frecuencia de una onda sinusoidal se relaciona con el periodo mediante la expresión

\( \displaystyle f=\frac{1}{T} \) (2)

La frecuencia de la onda es la misma que la frecuencia de la oscilación armónica simple de un elemento del medio. La unidad de frecuencia más común es s^–1 o hertz. La correspondiente unidad para T es segundos.

La máxima posición de un elemento del medio relativo a su posición de equilibrio se llama amplitud A de la onda.

Si una onda se mueve hacia la derecha con una rapidez v, la función de onda en algún tiempo posterior t es

\( \displaystyle y\,(x,t)=A\,\sin\,\left[\frac{2\,\pi}{\lambda}(x-v\,t)\right] \) (3)

La función de onda tiene la forma f (x – v t). Si la onda viajara hacia la izquierda, la cantidad x – v t se sustituiría por x + v t.

La rapidez de onda, la longitud de onda y el periodo se relaciona mediante la expresión

\( \displaystyle v=\frac{\lambda}{T} \) (4)

Al sustituir esta expresión para v en la ecuación (3) se obtiene

\( \displaystyle y\,(x,t)=A\,\sin\,\left[2\,\pi\,\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right] \) (5)

Esta forma de la función de onda muestra la naturaleza periódica de y. Advierta que con frecuencia se usará y en lugar de y ( x , t ) como una notación abreviada. En cualquier tiempo dado t, y tiene el mismo valor en las posiciones x, x + λ, x + 2 λ, y así sucesivamente. Además, en cualquier posición determinada x, el valor de y es el mismo en los tiempos t, t + T, t + 2 T, y así sucesivamente.

La función de onda se expresa en una forma conveniente al definir otras dos cantidades, el número de onda angular κ (por lo general simplemente llamado número de onda) y la frecuencia angular ω.

\( \displaystyle \kappa=\frac{2\,\pi}{\lambda} \) (6)

\( \displaystyle \omega=\frac{2\,\pi}{T}=2\,\pi\,f \) (7)

Al usar estas definiciones, la ecuación (5) se puede escribir en la forma más compacta

y ( x , t ) = A sen (κ x – ω t) (8)

Al usar las ecuaciones (2), (6) y (7), la rapidez de onda v originalmente conocida en la ecuación (4) se expresa en las formas alternativas siguientes:

\( \displaystyle v=\frac{\omega}{\kappa} \) (9)

v = λ f (10)

La función de onda conocida en la ecuación (8) supone que la posición vertical y de un elemento del medio es cero en x = 0 y t = 0. Este no necesita ser el caso. Si no lo es, la función de onda por lo general se expresa en la forma

y ( x , t ) = A sen (κ x – ω t + ϕ) (11)

donde ϕ es la constante de fase. Esta constante se determina a partir de las condiciones iniciales.

Relación entre el desfase y la distancia entre dos puntos de la cuerda.

ϕ = κ ∆ x

Relación entre el desfase y la separación temporal.

ϕ = ω ∆ t

Ondas sinusoidales en cuerdas.

Si una onda en t = 0 es como se describe en la figura, la función de onda se puede escribir como y ( x , t ) = A sen (κ x – ω t).

Se puede usar esta expresión para describir el movimiento de cualquier elemento de la cuerda. Un elemento en el punto P (o cualquier otro elemento de la cuerda) se mueve sólo verticalmente, y de este modo su coordenada x permanece constante. Por lo tanto, la rapidez transversal v_y (no confundir con la rapidez de onda v) y la aceleración transversal a_y de los elementos de la cuerda son

\( \displaystyle v_y=\frac{d\,y}{d\,t}\bigg\vert_{x=\text{constante}}= \frac{\partial\,y}{\partial\,t}=-\omega\,A\,\cos\,(\kappa\,x-\omega\,t)\) (12)

\( \displaystyle a_y=\frac{d\,v_y}{d\,t}\bigg\vert_{x=\text{constante}}= \frac{\partial\,v_y}{\partial\,t}=-\omega^2\,A\,\sin\,(\kappa\,x-\omega\,t)\) (13)

Estas expresiones incorporan derivadas parciales porque y depende tanto de x como de t. En la operación , por ejemplo, se toma una derivada respecto de t mientras se mantiene x constante. Los valores máximos de la rapidez transversal y la aceleración transversal son simplemente los valores absolutos de los coeficientes de las funciones coseno y seno:

v_y,max = ω A (14)

a_y,max = ω²A (15)

La rapidez transversal y la aceleración transversal de los elementos de la cuerda no llegan simultáneamente a sus valores máximos. La rapidez transversal llega a su valor máximo (ω A) cuando y = 0, mientras que la magnitud de la aceleración transversal llega a su máximo (ω²A) cuando y = ± A. Por último, las ecuaciones (13) y (14) son idénticas en forma matemática a las correspondientes ecuaciones para movimiento armónico simple.