Descripción
Oscilaciones forzadas.
Se ha visto que la energía mecánica de un oscilador amortiguado disminuye en el tiempo como resultado de la fuerza resistiva. Es posible compensar esta disminución de energía al aplicar una fuerza externa que haga trabajo positivo en el sistema. En cualquier instante, se puede transferir energía al sistema mediante una fuerza aplicada que actúe en la dirección de movimiento del oscilador. Por ejemplo, un niño en un columpio se puede mantener en movimiento mediante “empujones” adecuadamente cronometrados. La amplitud del movimiento permanece constante si la entrada de energía por cada ciclo de movimiento iguala exactamente la disminución en energía mecánica en cada ciclo que resulta de las fuerzas resistivas.
Un ejemplo común de un oscilador forzado es un oscilador amortiguado impulsado por una fuerza externa que varía periódicamente, como F (t) = F0 sen ωf t, donde F0 es una constante y ωf es la frecuencia angular de la fuerza impulsora. En general, la frecuencia ωf de la fuerza impulsora es variable, mientras que la frecuencia natural ω0 del oscilador es fija por los valores de k y m. La segunda ley de Newton en esta situación produce
Σ F = m a
\( \displaystyle F_0\cos(\omega_ft)-\beta\frac{d\,x}{d\,t}-k\,x=m\frac{d^2x}{d\,t^2}\)
\( \displaystyle m\frac{d^2x}{d\,t^2}+\beta\frac{d\,x}{d\,t}+k\,x=F_0\cos(\omega_ft)=0\)
\( \displaystyle \frac{d^2x}{d\,t^2}+\frac{\beta}{m}\frac{d\,x}{d\,t}+\frac{k}{m}x=\frac{F_0}{m}\cos(\omega_ft)=0\) (1)
De nuevo, la solución de esta ecuación es más bien larga y no se presentará. Después de que comienza a actuar la fuerza impulsora en un objeto inicialmente estable, la amplitud de la oscilación aumentará. Después de un periodo de tiempo suficientemente largo, cuando la entrada de energía por cada ciclo de la fuerza impulsora sea igual a la cantidad de energía mecánica transformada a energía interna por cada ciclo, se alcanza una condición de estado estacionario en que las oscilaciones proceden con amplitud constante. En esta situación, la solución de la ecuación (1) es
x (t) = A cos (ωf t + ϕ)
donde
\( \displaystyle A=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_f^2-\omega_0^2)^2+\left(\frac{\beta\,\omega_f}{m}\right)^2}}\) (2)
y donde \( \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\) es la frecuencia natural del oscilador no amortiguado (β = 0).
Las ecuaciones (1) y (2) muestran que el oscilador forzado vibra a la frecuencia de la fuerza impulsora y que la amplitud del oscilador es constante para una fuerza impulsora determinada porque se impulsa en estado estacionario mediante una fuerza externa.
