Descripción
Un resorte se alarga 10 cm por la acción de una fuerza de 3 N. Del resorte se cuelta una masa de 2 kg y se sujeta también a un amortiguador viscoso que aplica una fuerza de 3 N cuando la velocidad del a masa es de 5 m/s. Si se tira hacia debajo de la masa 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se le imprime una velocidad inicial hacia debajo de 10 cm/s, determine su posición en cualquier instante t.
Referencias:
Problema 11. Sección 3.8 del Boyce – DiPrima. Cuarta Edición. Página 208.
Segundo Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Nucleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Alargamiento del resorte: Δ x = 10 cm = 0.10 m
Fuerza aplicada al resorte: Fk = 3 N
Masa: m = 2 kg
Fuerza aplicada: Fβ = 3 N
Velocidad: v = 5 m/s
Posición inicial: x0 = – 5 cm = – 0.05 m
Velocidad inicial: v0 = – 10 cm/s = – 0.10 m/s
Desplazamiento: x (t) = ?
Constante del resorte.
Fk = k Δ x
\(\displaystyle k = \frac{F_k}{\Delta\,x}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle k = \frac{3\,\text{N}}{0.10\,\text{m}}\)
k = 30 N/m
Constante de amortiguamiento.
Fβ = β v
\(\displaystyle \beta = \frac{F_{\beta}}{v}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle \beta = \frac{3\,\text{N}}{5\,\text{m/s}}\)
β = 0.6 N.s/m
Parámetro de amortiguamiento.
\(\displaystyle \lambda = \frac{\beta}{2\,m}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle \lambda = \frac{0.6\,\text{N.s/m}}{2\,(2\,\text{kg})}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{0.6\,\text{N.s/m}}{4\,\text{kg}}\)
λ = 0.15 s–1
Frecuencia natural del sistema.
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{30\,\text{N/m}}{2\,\text{kg}}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{15\,\text{2}^{-2}}\)
ω0 = 3.8730 rad/s
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (0.15)2 – (3.8730)2
λ2 – ω02 = 0.0225 – 15
λ2 – ω02 = – 14.9775
λ2 – ω02 < 0 (Movimiento subamortiguado).
Frecuencia angular de oscilación.
\(\displaystyle \omega = \sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}\)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{14.9775}\)
ω = 3.87008 rad/s
Ecuación del movimiento.
x (t) = A e– λ t cos (ω t + ϕ)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0+x_0\,\lambda}{\omega}\right)^2}\)
Ángulo de fase.
v0 + x0 λ = – 0.10 + (–0.05) × 0.15
v0 + x0 λ = – 0.10 – 0.0075
v0 + x0 λ = – 0.1075
Puesto que x0 < 0 y v0 < 0:
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left(-\frac{v_0+x_0\,\lambda}{x_0\,\omega}\right)\)
Amplitud.
\(\displaystyle A = \sqrt{(-0.05)^2+\left(\frac{-0.1075}{3.87008}\right)^2}\)
\(\displaystyle A = \sqrt{0.0025+(0.0278)^2}\)
\(\displaystyle A = \sqrt{0.0025+7.7157\times10^{-4}}\)
\(\displaystyle A = \sqrt{0.00327157}\)
A = 0.057198 m
Ángulo de fase.
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left[-\frac{-0.1075}{(-0.05)\,(3.87008)}\right]\)
\(\displaystyle \phi = \pi+\tan^{-1}\left(-\frac{-0.1075}{-0.193504}\right)\)
ϕ = π + tan–1 (– 0.555544)
ϕ = π – 0.50709
ϕ = 2.6345 rad
Al sustituir valores en la ecuación de movimiento:
x (t) = 0.057198 e – 0.15 t cos (3.87008 t + 2.6345), x = [m], t = [s]
En la figura siguiente se muestra la gráfica del movimiento.
Forma alterna de la ecuación de movimiento.
\( \displaystyle x\,(t)=e^{-\lambda\,t}\left[x_0\cos(\omega\,t)+\frac{v_0+x_0\lambda}{\omega}\sin(\omega\,t)\right]\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x\,(t)=e^{-0.15\,t}\left[-0.05\cos(3.87008\,t)+\left(\frac{-0.1075}{3.87008}\right)\sin(3.87008\,t)\right]\)
x (t) = e – 0.15 t [– 0.05 cos (3.87008 t) – 0.0278 sen (3.87008 t)], x = [m], t = [s]
