Descripción
Una masa m = 4 kg cuelga de un resorte que se estiró 3 cm bajo la influencia del peso de la masa. La masa está conectada a un amortiguador con constante de amortiguación β = 5000 N.s/m. Ahora se tira de la masa 5 cm hacia abajo y luego se suelta con una velocidad ascendente inicial de 30 m/s. Determine el desplazamiento máximo de la masa con respecto a su posición de equilibrio estático durante todo el movimiento.
Referencias:
Problema 3-200 del Çengel – Palm. Página 172.
Segundo Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Masa: m = 4 kg
Alargamiento del resorte: Δ x = 3 cm = 0.03 m
Constante de amortiguamiento: β = 5000 N.s/m
Amplitud inicial: x0 = – 5 cm = – 0.05 m
Velocidad inicial: v0 = 30 m/s
Constante del resorte.
m g = k Δ x
\(\displaystyle k = \frac{m\,g}{\Delta\,x}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle k = \frac{4\,\text{kg}\times 9.81\,\text{m/s}^2}{0.03\,\text{m}}\)
\(\displaystyle k = \frac{39.24\,\text{N}}{0.03\,\text{m}}\)
k = 1308 N/m
Frecuencia natural del sistema.
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{1308\,\text{N/m}}{4\,\text{kg}}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{327\,\text{s}^{-2}}\)
ω0 = 18.08 rad/s
Parámetro de amortiguamiento.
\(\displaystyle \lambda = \frac{\beta}{2\,m}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{5000\,\text{N.s/m}}{2\,(4\,\text{kg})}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{5000\,\text{N.s/m}}{8\,\text{kg}}\)
λ = 625 s–1
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (625)2 – (18.08)2
λ2 – ω02 = 390625 – 326.8864
λ2 – ω02 = 390298.1136
λ2 – ω02 > 0 (Movimiento sobreamortiguado).
Ecuación del movimiento.
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-\lambda\,t}\left[\left(x_0+\frac{v_0+x_0\lambda}{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\right)\,e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t}+\left(x_0-\frac{v_0+x_0\lambda}{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\right)\,e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t}\right]\)
\(\displaystyle \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}=\sqrt{390298.36}\)
\(\displaystyle \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}=624.7384\)
v0 + x0 λ = 30 + (–0.05) × 625
v0 + x0 λ = 30 – 31.25
v0 + x0 λ = – 1.25
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-625\,t}\left[\left(-0.05+\frac{(-1.25)}{624.7384}\right)\,e^{624.7384\,t}+\left(-0.05-\frac{(-1.25)}{624.7384}\right)\,e^{-624.7384\,t}\right]\)
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-625\,t}\left[(-0.05-0.002)\,e^{624.7384\,t}+(-0.05+0.002)\,e^{-624.7384\,t}\right]\)
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-625\,t}(-0.052\,e^{624.7384\,t}-0.048\,e^{-624.7384\,t})\)
x (t) = – 0.026 e – 0.2616 t – 0.024 e – 1249.7384 t, x = [m], t = [s]
En la figura siguiente se muestra la gráfica del movimiento.
Primer mecanismo de solución. Usando la fórmula.
\( \displaystyle t=\frac{1}{2\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\ln\left[\frac{x_0\omega_0^2+v_0(\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})}{x_0\omega_0^2+v_0(\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})}\right]\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle t=\frac{1}{2\,(624.7384)}\ln\left[\frac{-0.05\,(18.08)^2+30\,(625+624.7384)}{-0.05\,(18.08)^2+30\,(625-624.7384)}\right]\)
\( \displaystyle t=\frac{1}{1249.4768}\ln\left[\frac{-0.05\,(326.8864)+30\,(1249.7384)}{-0.05\,(326.8864)+30\,(0.2616)}\right]\)
\( \displaystyle t=8.0033\times10^{-4}\ln\left(\frac{-16.34432+37492.152}{-16.34432+7.848}\right)\)
\( \displaystyle t=8.0033\times10^{-4}\ln\left(\frac{37475.80768}{-8.49632}\right)\)
t = 8.0033×10–4 ln (– 4410.8282)
t no existe.
El desplazamiento máximo es la elongación inicial.
xmax = 5 cm.
Segundo mecanismo de solución. Usando la ecuación de movimiento.
El desplazamiento es máximo cuando la velocidad es cero.
Al derivar la ecuación del movimiento:
v (t) = 0.0068 e – 0.2616 t + 29.9932 e – 1249.7384 t
La velocidad nunca es nula.
El desplazamiento máximo es 5 cm.
