Descripción
Una masa m = 0.5 kg cuelga de un resorte que se estiró 0.2 cm bajo la influencia del peso de esta masa. La masa está conectada a un amortiguador con una constante de amortiguación β = 2000 N.s/m. Ahora se tira de la masa 2 cm hacia abajo y luego se suelta con una velocidad descendente de 20 m/s. Determine si la masa pasará en algún momento por su posición de equilibrio estático. Si pasa, determine el tiempo y la velocidad de la masa en ese instante.
Referencias:
Problema 3-199 del Çengel – Palm. Página 172.
Segundo Examen Parcial. Prof. Willians Medina. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Venezuela. Periodo III-2025.
Solución.
Masa: m = 0.5 kg
Alargamiento del resorte: Δ x = 0.2 cm = 0.002 m
Constante de amortiguamiento: β = 2000 N.s/m
Amplitud inicial: x0 = – 2 cm = – 0.02 m
Velocidad inicial: v0 = – 20 m/s
Constante del resorte.
m g = k Δ x
\(\displaystyle k = \frac{m\,g}{\Delta\,x}\)
Al sustituir valores:
\(\displaystyle k = \frac{0.5\,\text{kg}\times 9.81\,\text{m/s}^2}{0.002\,\text{m}}\)
\(\displaystyle k = \frac{4.905\.\text{N}}{0.002\,\text{m}}\)
k = 2452.5 N/m
Frecuencia natural del sistema.
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{2452.5\,\text{N/m}}{0.5\,\text{kg}}}\)
\(\displaystyle \omega_0 = \sqrt{4905\,\text{s}^{-2}}\)
ω0 = 70.04 rad/s
Parámetro de amortiguamiento.
\(\displaystyle \lambda = \frac{\beta}{2\,m}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{2000\,\text{N.s/m}}{2\,(0.5\,\text{kg})}\)
\(\displaystyle \lambda = \frac{5000\,\text{N.s/m}}{1\,\text{kg}}\)
λ = 2000 s–1
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (2000)2 – (70.04)2
λ2 – ω02 = 4×106 – 4905
λ2 – ω02 = 3995095
λ2 – ω02 > 0 (Movimiento sobreamortiguado).
Ecuación del movimiento.
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-\lambda\,t}\left[\left(x_0+\frac{v_0+x_0\lambda}{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\right)\,e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t}+\left(x_0-\frac{v_0+x_0\lambda}{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\right)\,e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\,t}\right]\)
v0 + x0 λ = – 20 + (–0.02) × 2000
v0 + x0 λ = – 20 – 40
v0 + x0 λ = – 60
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-2000\,t}\left[\left(-0.02+\frac{-(-60)}{1998.77}\right)\,e^{1998.77\,t}+\left(-0.02-\frac{(-60)}{1998.77}\right)\,e^{-1998.77\,t}\right]\)
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-2000\,t}\left[(-0.02-0.03)\,e^{1998.77\,t}+(-0.02+0.03)\,e^{-1998.77\,t}\right]\)
\(\displaystyle x\,(t)=\frac{1}{2}e^{-2000\,t}(-0.05\,e^{1998.77\,t}+0.01\,e^{-1998.77\,t})\)
x (t) = – 0.025 e – 1.23 t + 0.005 e – 3998.77 t, x = [m], t = [s]
En la figura siguiente se muestra la gráfica del movimiento.
Si el sistema pasa por la posición de equilibrio.
Primer mecanismo de solución. Usando la fórmula.
\( \displaystyle t=\frac{1}{2\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}\ln\left[\frac{v_0+x_0(\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})}{v_0+x_0(\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2})}\right]\)
\( \displaystyle t=\frac{1}{2\,(1998.77)}\ln\left[\frac{-20+(-0.02)\,(2000-1998.77)}{-20+(-0.02)\,(2000+1998.77)}\right]\)
\( \displaystyle t=\frac{1}{3397.54}\ln\left[\frac{-20+(-0.02)\,(1.23)}{-20+(-0.02)\,(3998.77)}\right]\)
\( \displaystyle t=2.5015\times10^{-4}\ln\left(\frac{-20-0.0246}{-20-79.9754}\right)\)
\( \displaystyle t=2.5015\times10^{-4}\ln\left(\frac{-20.0246}{-99.9754}\right)\)
t = 2.5015×10–4 ln (0.2003)
t = – 0.000402 s
La masa no pasa por el punto de equilibrio estático.
Segundo mecanismo de solución. Usando la ecuación de movimiento.
x (t) = 0
De la ecuación de movimiento:
– 0.025 e – 1.23 t + 0.005 e – 3998.77 t = 0
0.025 e – 1.23 t = 0.005 e – 3998.77 t
\(\displaystyle e^{-1.23\,t}\times e^{3998.77\,t}=\frac{0.005}{0.025}\)
e 3998.77 t = 0.2
3998.54 t = ln 0.2
\(\displaystyle t = \frac{\ln 0.2}{3998.54}\)
t = – 4.02×10–4 s
La masa no pasa por el punto de equilibrio estático.
