Descripción
Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determina la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pie/s.
Referencia: Ejemplo 4. Sección 5.1.2 del Zill – Wright. Octava Edición. Página 192.
Solución.
Peso: W = 8 lb
Masa: m = 0.25 slug
Elongación inicial: Δ x = 2 pies
Coeficiente de amortiguamiento: β = 2 lbf.s/ft
Para t = 0, x = 0, v = 3 ft/s
Posición inicial: x0 = 0 ft
Velocidad inicial: v0 = 3 ft/s
Frecuencia natural de “oscilación”.
\( \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\) (1)
Constante del resorte.
W = k Δ x
\( \displaystyle k=\frac{W}{\Delta\,x}\)
\( \displaystyle k=\frac{8\,\text{lb}}{2\,\text{ft}}\)
k = 4 lbf/ft
Al sustituir en la ecuación (1):
\( \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{4\,\text{lb}_f\text{/ft}}{0.25\,\text{slug}}}\)
\( \displaystyle \omega_0=\sqrt{16\,\text{s}^{-2}}\)
ω0 = 4 rad/s
Parámetro de amortiguamiento.
\( \displaystyle \lambda=\frac{\beta}{2\,m}\)
\( \displaystyle \lambda=\frac{2\,\text{lb}_f\text{.s/ft}}{2\,(0.25\,\text{slug})}\)
λ = 4 s–1
Tipo de oscilación.
λ2 – ω02 = (4)2 – (4)2
λ2 – ω02 = 16 – 16
λ2 – ω02 = 0
Se trata de un movimiento críticamente amortiguado.
Ecuación del movimiento.
x (t) = e– λ t [x0 + (v0 + x0 λ) t]
Al aplicar las condiciones iniciales:
x (t) = e– (4) t {(0) + [3 + (0) (4)] t}
x (t) = e– 4 t (3 t)
x (t) = 3 t e– 4 t
x (t) = 3 t e– 4 t
