Descripción
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P ( 2 , 1 , – 3 ) y es paralelo al plano 5 x – 2 y + 4 z – 9 = 0.
Referencia: Ejemplo 1. Sección 118 del Lehmann. Página 353.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Siendo ( x0 , y0 , z0 ) un punto perteneciente al plano y N = a i + b j + c k su vector normal, la ecuación del plano es:
a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0 (1)
Coordenadas del punto perteneciente al plano: P0 ( x0 , y0 , z0 ) = P ( 2 , 1 , – 3 ).
x0 = 2, y0 = 1, z0 = – 3 (2)
Vector normal del plano: N = a i + b j + c k
Puesto que el plano buscado es paralelo al plano 5 x – 2 y + 4 z – 9 = 0, sus vectores normales son paralelos.
Vector normal del plano dado.
5 x – 2 y + 4 z – 9 = 0
Las componentes del vector normal son los coeficientes de x, y y z en la ecuación general del plano.
N = 5 i – 2 j + 4 k
a = 5, b = – 2, c = 4 (3)
Al sustituir las coordenadas del punto ( x0 , y0 , z0 ) seleccionado (Ecuaciones 2) y las componentes del vector normal (Ecuaciones 3) en la ecuación del plano buscado (Ecuación 1):
(5) [x – (2)] + (–2) [y – (1)] + (4) [z – (–3)] = 0
5 (x – 2) – 2 (y – 1) + 4 (z + 3) = 0
5 x – 10 – 2 y + 2 + 4 z + 12 = 0
5 x – 2 y + 4 z + 4 = 0
Segundo mecanismo de solución.
La ecuación general del plano buscado es:
a x + b y + c z + d = 0 (4)
Puesto que el plano buscado es paralelo al plano 5 x – 2 y + 4 z – 9 = 0, entonces sus vectores normales son paralelos, por lo tanto para el plano buscado podemos escribir:
N = 5 i – 2 j + 4 k
a = 5, b = – 2, c = 4
Al sustituir las componentes del vector normal en la ecuación general del plano (Ecuación 4):
5 x – 2 y + 4 z + d = 0 (5)
Por otra parte, el punto P ( 2 , 1 , – 3 ) pertenece al plano buscado, por lo tanto sus coordenadas satisfacen la ecuación del mismo.
Al sustituir las coordenadas en la ecuación del plano buscado (Ecuación 5):
5 (2) – 2 (1) + 4 (– 3) + d = 0
10 – 2 – 12 + d = 0
– 4 + d = 0
d = 4
Con el valor d = 4 obtenemos la ecuación general del plano buscado (Ecuación 5):
5 x – 2 y + 4 z + 4 = 0
Valoraciones
No hay valoraciones aún.