Descripción
Dados los conjuntos A = { – 3 , – 1 , 1 , 2 , 4 } y B = { – 1 , 2 , 3 , 4 }, determine el producto cartesiano A × B. Indique la relación en la cual:
a) a es igual a b.
b) a es el doble de b.
c) a es menor que b.
d) a es mayor o igual que b.
Solución.
El producto cartesiano A × B es el conjunto de pares ordenados en los cuales la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B, adicionalmente, se debe combinar cada elemento de A con todos los elementos de B. De esta manera, la primera combinación que resulta es: ( – 3 , – 1 ), luego ( – 3 , 2) y así sucesivamente hasta la combinación ( 4 , 4 ).
Producto cartesiano.
A × B =
{(– 3 , – 1) , (– 3 , 2) , (– 3 , 3) , (– 3 , 4) ,
(– 1 , – 1) , (– 1 , 2) , (– 1 , 3) , (– 1 , 4) ,
(1 , – 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) ,
(2 , – 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4) ,
(4 , – 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) }
Se ha escrito en la forma anterior con el objeto de ilustrar la formación de los elementos del producto cartesiano, sin embargo, la forma final se escribe como sigue:
A×B = {(– 3 , – 1) , (– 3 , 2) , (– 3 , 3) , (– 3 , 4) , (– 1 , – 1) , (– 1 , 2) , (– 1 , 3) , (– 1 , 4) ,
(1 , – 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , – 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4) , (4 , – 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) }
a) El elemento del conjunto A (a) es igual al elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es igual a la segunda.
R1 = {(– 1 , – 1) , (2 , 2) , (4 , 4)}
b) El elemento del conjunto A (a) es el doble del elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es el doble de la segunda.
Del producto cartesiano se observa que el único elemento que tiene esa propiedad es (4 , 2), por lo tanto:
R2 = {(4 , 2)}
c) El elemento del conjunto A (a) es menor que el elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es menor que la segunda.
R3 = {(– 3 , – 1) , (– 3 , 2) , (– 3 , 3) , (– 3 , 4) , (– 1 , 2) , (– 1 , 3) , (– 1 , 4) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 3) , (2 , 4)}
d) El elemento del conjunto A (a) es mayor o igual que el elemento del conjunto B (b). En forma práctica, en el producto cartesiano la primera componente de cada par ordenado es mayor o igual que la segunda.
R4 = {(– 1 , – 1) , (1 , – 1) , (2 , – 1) , (2 , 2) , (4, – 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4)}
