Descripción
En la siguiente gráfica, determinar el dominio y rango de f (x).
Solución.
Dominio de la función.
Se tienen cinco curvas. Los dominios individuales son (– ∞,– 4), [– 4,0), (0,2), (2,4) y (4,+ ∞). El dominio se obtiene mediante la operación:
Dom f = (– ∞,– 4) ∪ [– 4,0) ∪ (0,2) ∪ (2,4) ∪ (4, + ∞)
Puesto que el elemento “– 4” no está incluido en el primer intervalo, pero si en el segundo, resulta incluido en la unión:
Dom f = (– ∞,0) ∪ (0,2) ∪ (2,4) ∪ (4, + ∞)
Una forma práctica de obtener el dominio es la siguiente:
Tomar una regla y colocarla en forma vertical y hacer un recorrido horizontal a lo largo del eje x (de izquierda a derecha). La regla intersecta a la curva desde – ∞ hasta – 4 (abierto), sin embargo, no se interrumpe el recorrido porque en x = – 4 el punto inferior que representa el extremo de una de las curvas está incluido y sigue hasta 0 (abierto). Allí hay una interrupción, porque el “0” no está incluido en ninguna de las dos curvas. Continuando el recorrido, observamos que va desde 0 (abierto) hasta 2 (abierto), existiendo otra interrupción en x = 2. De esta manera seguimos y observamos que hay una última interrupción en x = 4 y finalmente se sigue hasta ∞. El dominio es:
Dom f = (– ∞,0) ∪ (0,2) ∪ (2,4) ∪ (4, + ∞)
Rango de la función.
Los rangos individuales son (2,+ ∞), [0,4), (0,2), {–4} y (–4,+ ∞). El rango se obtiene mediante la operación:
Rgo f = (2,+ ∞) ∪ [0,4) ∪ (0,2) ∪ {– 4} ∪ (– 4, + ∞)
Obsérvese que los tres primeros intervalos están contenidos en el último. El resultado de la operación anterior es:
Rgo f = [– 4, + ∞)
Una forma práctica de obtener el rango es la siguiente:
Tomar una regla y colocarla en forma horizontal y hacer un recorrido vertical a lo largo del eje y (de abajo hacia arriba). La regla intersecta a la curva desde – 4 hasta + ∞. A pesar de que el valor y = – 4 no está incluido en los extremos de esa porción de la curva, si está incluido para puntos intermedios.
El rango es:
Rgo f = [– 4, + ∞)
