Descripción
Determine la distancia del punto ( – 2 , 1 , 3 ) a la recta L: x = 1 – t, y = 2 + t, z = – 2 t.
Referencia:
Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo: I-2025.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
La distancia entre el punto y la recta dados se determina con la ecuación:
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{\|\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}\)
P y A son un punto y el vector director de la recta dada, respectivamente, mientras que Q es un punto arbitrario externo a dicha recta.
Coordenadas del punto Q.
Q ( – 2 , 1 , 3 )
Recta:
x = 1 – t
y = 2 + t
z = – 2 t
Punto: P ( 1 , 2 , 0 )
Vector director: A = – i + j – 2 k
Vector PQ.
PQ = (– 2 – 1) i + (1 – 2) j + (3 – 0) k
PQ = – 3 i – j + 3 k
A continuación se determina el producto vectorial PQ × A.
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-3&-1&3\\-1&1&-2\end{vmatrix}\)
PQ × A = [(– 1) (– 2) – (1) (3)] i – [(– 3) (– 2) – (– 1) (3)] j + [(– 3) (1) – (– 1) (– 1)] k
PQ × A = (2 – 3) i – [6 – (– 3)] j + (– 3 – 1) k
PQ × A = – i – 9 j – 4 k
Módulo del vector PQ × A.
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}\|=\sqrt{(-1)^2+(-9)^2+(-4)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}\|=\sqrt{1+81+16}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}\|=\sqrt{98}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}\|=7\,\sqrt{2}\)
Módulo del vector A.
\(\displaystyle \|\mathbf{A}\|=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(-2)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}\|=\sqrt{1+1+4}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}\|=\sqrt{6}\)
Distancia entre el punto y la recta.
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7\,\sqrt{3}}{3}\) Unidades de longitud.
Segundo mecanismo de solución.
Solución aplicando la fórmula que determina el parámetro de la recta y el punto de la misma que genera la distancia mínima.
\(\displaystyle t=\frac{\|\mathbf{PQ}\cdot\mathbf{A}\|}{\|A\|^2}\)
Las operaciones requeridas son:
PQ.A = (– 3 i – j + 3 k) . ( – k + i – 2 j) = 3 – 1 – 6 = – 4
|| A ||2 = (– 1) 2 + (1) 2 + (– 2) 2
|| A ||2 = 1 + 1 + 4
|| A ||2 = 6
\(\displaystyle t=\frac{-4}{6}\)
\(t=-\frac{2}{3}\)
Las coordenadas del punto de la recta son:
\(x=1-(-\frac{2}{3})=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\)
\(y=2+(-\frac{2}{3})=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\)
\(z=-2\,(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}\)
La distancia entre este punto y el punto dado ( – 2 , 1 , 3 ) es:
\(\text{Distancia}=\sqrt{(-2-\frac{5}{3})^2+(1-\frac{4}{3})^2+(3-\frac{4}{3})^2}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{(-\frac{11}{3})^2+(-\frac{1}{3})^2+(\frac{5}{3})^2}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{\frac{121}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}}\)
\(\text{Distancia}=\sqrt{\frac{49}{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{7\,\sqrt{3}}{3}\) Unidades de longitud.
