Descripción
Determine la distancia entre las rectas:
L1: x = – 2 + 2 t, y = 1 + 4 t, z = 2 – t
L2: x = 2 – 2 s, y = 3 – 4 s, z = 1 + s
Referencia:
Guía de Ejercicios Prof. Thais Marín. Universidad de Oriente. Núcleo de Anzoátegui. Periodo I-2025.
Solución.
En primer lugar es necesario averiguar si las rectas son paralelas o son oblícuas.
Las rectas dadas son paralelas si sus vectores directores son paralelos. Si los vectores directores son A1 y A2, entonces las rectas son paralelas si A2 = α A1.
Vector director de cada recta.
Recta 1: Recta 2:
x = – 2 + 2 t x = 2 – 2 s
y = 1 + 4 t y = 3 – 4 s
z = 2 – t z = 1 + s
Punto: P ( – 2 , 1 , 2 ) Punto: Q ( 2 , 3 , 1 )
Vector director: A1 = 2 i + 4 j – k Vector director: A2 = – 2 i – 4 j + k
Puesto que A2 = – A1, entonces los vectores A1 y A2 son paralelos, luego las rectas L1 y L2 son paralelas.
Distancia entre las rectas.
La distancia entre las rectas paralelas se determina con la ecuación:
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{\|\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1\|}{\|\mathbf{A}_1\|}\)
P y A1 son un punto y el vector director de una de las rectas, respectivamente, mientras que Q es un punto arbitrario de la otra recta.
Vector PQ.
PQ = [2 – (– 2)] i + (3 – 1) j + (1 – 2) k
PQ = 4 i + 2 j – k
Vector director de una de las rectas.
A1 = 2 i + 4 j – k
Producto vectorial de los vectores PQ y A1.
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\4&2&-1\\2&4&-1\end{vmatrix}\)
PQ×A1 = [(2) (– 1) – (4) (– 1)] i – [(4) (– 1) – (2) (– 1)] j + [(4) (4) – (2) (2)] k
PQ×A1 = (– 2 + 4) i – (– 4 + 2) j + (16 – 4) k
PQ×A1 = 2 i + 2 j + 12 k
Módulo del vector PQ×A1.
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_1\|=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(12)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_1\|=\sqrt{4+4+144}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_1\|=\sqrt{152}\)
Módulo del vector A1.
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{(2)^2+(4)^2+(1)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{4+16+1}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{21}\)
Distancia entre las rectas.
\(\displaystyle \text{Distancia}=\frac{\sqrt{152}}{\sqrt{21}}\)
\(\displaystyle \text{Distancia}=\sqrt{\frac{152}{21}}\) Unidades de longitud.
