Descripción
Sean L1: \(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\) y L2: \(\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{1}\)
a) Demuestre que las rectas L1 y L2 se cortan en un punto.
b) Determine la medida del ángulo que forman las rectas.
Referencia:
Ejemplo del Villena. Capítulo 2.
Solución.
a) Primer mecanismo de solución.
Ecuaciones paramétricas de las rectas.
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Recta 1. \(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\) x = 1 + 2 t y = – t z = – 1 + 3 t Punto: P ( 1 , 0 , – 1 ) Vector director: A1 = 2 i – j + 3 k |
Recta 2. \(\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{1}\) x = 3 s y = 2 – 3 s z = 1 + s Punto: Q ( 0 , 2 , 1 ) Vector director: A2 = 3 i – 3 j + k |
Al igualar las coordenadas x, y y z de ambas rectas:
1 + 2 t = 3 s (1)
– t = 2 – 3 s (2)
– 1 + 3 t = 1 + s (3)
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
Al tomar las ecuaciones (1) y (2):
2 t – 3 s = – 1
– t + 3 s = 2
La solución del sistema anterior es:
t = 1
s = 1
Se verifica la identidad de la ecuación (3):
– 1 + 3 (1) = 1 + (1)
– 1 + 3 = 1 + 1
2 = 2
Puesto que se verifica la igualdad en la tercera ecuación, las tres ecuaciones se satisfacen simultáneamente y por ello se concluye que las dos rectas se intersectan.
Punto de intersección.
Para determinar el punto de intersección se sustituye t = 1 en las ecuaciones paramétricas de la recta 1 ó s = 1 en las ecuaciones paramétricas de la recta 2.
Recta 1.
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x = 1 + 2 (1) x = 1 + 2 x = 3 |
y = – 1 |
z = – 1 + 3 (1) z = – 1 + 3 z = 2 |
Punto de intersección de las dos rectas: S ( 3 , – 1 , 2 ).
b) Ángulo entre las rectas:
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{\mathbf{A}_1\cdot\mathbf{A}_2}{\|\mathbf{A}_1\|\,\|\mathbf{A}_2\|}\)
Siendo los vectores directores de las rectas A1 = 2 i – j + 3 k y A2 = 3 i – 3 j + k se tiene:
Producto escalar de los vectores A1 y A2.
A1.A2 = (2 i – j + 3 k).( 3 i – 3 j + k)
A1.A2 = (2) (3) + (– 1) (– 3) + (3) (1)
A1.A2 = 6 + 3 + 3
A1.A2 = 12
Módulo del vector A1.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(3)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{4+1+9}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_1\|=\sqrt{14}\)
Módulo del vector A2.
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(1)^2}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{9+9+1}\)
\( \displaystyle \|\mathbf{A}_2\|=\sqrt{19}\)
Ángulo entre las rectas.
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{12}{\sqrt{14}\times\sqrt{19}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{12}{\sqrt{266}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{12}{\sqrt{266}}\times\frac{\sqrt{266}}{\sqrt{266}}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{12\,\sqrt{266}}{266}\)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{6\,\sqrt{266}}{133}\)
\( \displaystyle \theta=\cos^{-1}\left(\frac{6\,\sqrt{266}}{133}\right)\)
Segundo mecanismo de solución.
Sean las rectas L1 y L2 en ℝ3 con vectores directores A1 y A2 respectivamente. Sea P un punto de la recta L1, Q un punto de la recta L2 y PQ un vector definido por los puntos P y Q. Si A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, las rectas se intersectan en un punto.
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Recta 1. \(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\) Punto: P ( 1 , 0 , – 1 ) Vector director: A1 = 2 i – j + 3 k |
Recta 2. \(\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-1}{1}\) Punto: Q ( 0 , 2 , 1 ) Vector director: A2 = 3 i – 3 j + k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&-1&3\\3&-3&1\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(– 1) (1) – (– 3) (3)] i – [(2) (1) – (3) (3)] j + [(2) (– 3) – (3) (– 1)] k
A1×A2 = (– 1 + 9) i – (2 – 9) j + (– 6 + 3) k
A1×A2 = 8 i + 7 j – 3 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Vector PQ:
PQ = (0 – 1) i + (2 – 0) j + [1 – (–1)] k
PQ = – i + 2 j + 2 k
PQ.A1×A2 = (– i + 2 j + 2 k) . (8 i + 7 j – 3 k)
PQ.A1×A2 = (– 1) (8) + (2) (7) + (2) (– 3)
PQ.A1×A2 = – 8 + 14 – 6
PQ.A1×A2 = 0
Puesto que A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, entonces las rectas 1 y 2 se intersectan.
Una vez que se determina que las rectas se intersectan, se procede a determinar el punto de intersección entre las mismas.
Determinar el valor de los parámetros t y s en el punto de intersección.
| \(\displaystyle t=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_2)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) | \(\displaystyle s=\frac{(\mathbf{PQ}\times\mathbf{A}_1)\cdot(\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2)}{\|\mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2\|^2}\) |
Las operaciones requeridas (para el cálculo de t) son:
\(\displaystyle \mathbf{PQ}\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&2&2\\3&-3&1\end{vmatrix}\)
PQ×A2 = [(2) (1) – (– 3) (2)] i – [(– 1) (1) – (3) (2)] j + [(– 1) (– 3) – (3) (2)] k
PQ×A2 = (2 + 6) i – (– 1 – 6) j + (3 – 6) k
PQ×A2 = 8 i + 7 j – 3 k
(PQ×A2) . (A1×A2) = (8 i + 7 j – 3 k) . (8 i + 7 j – 3 k)
(PQ×A2) . (A1×A2) = (8) (8) + (7) (7) + (– 3) (– 3)
(PQ×A2) . (A1×A2) = 64 + 49 + 9
(PQ×A2) . (A1×A2) = 132
|| A1×A2 ||2 = (8)2 + (7)2 + (– 3)2
|| A1×A2 ||2 = 64 + 49 + 9
|| A1×A2 ||2 = 132
Cálculo de t.
\(\displaystyle t=\frac{132}{132}\)
t = 1
