Descripción
¿Se intersectan las rectas
( x , y , z ) = ( t , – 6 t + 1 , 2 t – 8) y
( x , y , z ) = ( 3 t + 1 , 2 t , 0 )?
Referencia:
Ejemplo 1.13. Capítulo 1 del Marsden. Quinta Edición. Página 15.
Solución.
Primer mecanismo de solución.
Determinación del punto de intersección.
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Recta 1: x = t y = – 6 t + 1 z = 2 t – 8 |
Recta 2: x = 3 s + 1 y = 2 s z = 0 |
Al igualar las coordenadas x, y y z de ambas rectas:
t = 3 s + 1 (1)
– 6 t + 1 = 2 s (2)
2 t – 8 = 0 (3)
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas.
De la ecuación (3):
2 t – 8 = 0
2 t = 8
t = 4
Al sustituir en la ecuación (1):
4 = 3 s + 1
4 – 1 = 3 s
3 = 3 s
s = 1
Se verifica la identidad de la ecuación (2):
– 6 (4) + 1 = 2 (1)
– 24 + 1 = 2
– 23 = 2
Puesto que no se verifica la igualdad en la tercera ecuación, las tres ecuaciones no se satisfacen simultáneamente y por ello se concluye que las dos rectas no se intersectan.
Segundo mecanismo de solución.
Sean las rectas L1 y L2 en ℝ3 con vectores directores A1 y A2 respectivamente. Sea P un punto de la recta L1, Q un punto de la recta L2 y PQ un vector definido por los puntos P y Q. Si A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 = 0, las rectas se intersectan en un punto.
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Recta 1: x = t y = – 6 t + 1 z = 2 t – 8 Punto: P ( 0 , 1 , – 8 ) Vector director: A1 = i – 6 j + 2 k |
Recta 2: x = 3 s + 1 y = 2 s z = 0 Punto: Q ( 1 , 0 , 0 ) Vector director: A2 = 3 i + 2 j + 0 k |
Producto vectorial de los vectores A1 y A2.
\(\displaystyle \mathbf{A}_1\times \mathbf{A}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&-6&2\\3&2&0\end{vmatrix}\)
A1×A2 = [(– 6) (0) – (2) (2)] i – [(1) (0) – (3) (2)] j + [(1) (2) – (3) (– 6)] k
A1×A2 = (0 – 4) i – (0 – 6) j + (2 + 18) k
A1×A2 = – 4 i + 6 j + 20 k
Puesto que A1×A2 ≠ 0, entonces los vectores A1 y A2 no son paralelos, luego las rectas 1 y 2 no son paralelas.
Vector PQ:
PQ = (1 – 0) i + (0 – 1) j + [0 – (–8)] k
PQ = i – j + 8 k
PQ.A1×A2 = (i – j + 8 k) . (– 4 i + 6 j + 20 k)
PQ.A1×A2 = (1) (– 4) + (– 1) (6) + (8) (20)
PQ.A1×A2 = – 4 – 16 + 160
PQ.A1×A2 = 150
Puesto que A1×A2 ≠ 0 y PQ.A1×A2 ≠ 0, entonces las rectas 1 y 2 no se intersectan.
