Descripción
Hallar ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas que describen la recta que pasa por ( 1 , – 2 , 4 ) y ( 3 , 2 , 0 ).
Referencia:
Ejemplo 1. Sección 14.3 del Larson – Hostetler. Segunda Edición. Página 642.
Solución.
Ecuaciones paramétricas de la recta buscada:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = x0 + c t (1)
Coordenadas del punto perteneciente a la recta buscada:
( x0 , y0 , z0 ) = ( 3 , 2 , 0 )
x0 = 3
y0 = 2
z0 = 0 (2)
El vector A = a i + b j + c k se obtiene a partir del vector dirigido bien sea desde el punto P ( 1 , – 2 , 4 ) hasta el punto Q ( 3 , 2 , 0 ) o desde el punto Q hasta el punto P (El opuesto de PQ).
Si elegimos como vector director de la recta el vector desde P hasta Q:
A = (3 – 1) i + [2 – (– 2)] j + (0 – 4) k
A = 2 i + 4 j – 4 k
Componentes del vector director de la recta buscada:
a = 2
b = 4
c = – 4 (3)
Al sustituir los valores dados por (2) y (3) en las ecuaciones (1):
x = 1 + 2 t
y = – 2 + 4 t
z = 4 – 4 t
Otras soluciones factibles del problema son:
Si se toman el punto ( 3 , 2 , 0 ) y el vector PQ = 2 i + 4 j – 4 k
x = 3 + 2 t
y = 2 + 4 t
z = – 4 t
Si se toman el punto ( 1 , – 2 , 4 ) y el vector QP = – 2 i – 4 j + 4 k
x = 1 – 2 t
y = – 2 – 4 t
z = 4 + 4 t
Si se toman el punto ( 3 , 2 , 0 ) y el vector QP = – 2 i – 4 j + 4 k
x = 3 – 2 t
y = 2 – 4 t
z = 4 t
Debido a la posibilidad de encontrar varias ecuaciones de la recta que satisfacen las condiciones del problema es que se dice que la ecuación de una recta en el espacio no es única.
