Descripción
f (x) = x2 + 4 x + 3
Tipo de función.
Se trata de una función cuadrática f (x) = a x2 + b x + c.
Coeficientes de la función.
Al comparar la función dada f (x) = – 4 x2 – 2 x + 5 con la forma general de la función cuadrática, f (x) = a x2 + b x + c, se tiene:
a = – 4, b = – 2, c = 5.
Dominio de la función.
Dom f = ℝ
Forma de la gráfica de la función.
Puesto que a = – 4 < 0, la parábola es cóncava hacia abajo.
Elementos de la gráfica de la función.
Coordenadas del vértice.
|
Coordenada x. \( \displaystyle x_V = \frac{-b}{2\,a}\) \( \displaystyle x_V = \frac{-(-2)}{2\,(-4)}\) \( \displaystyle x_V = \frac{2}{-8}\) \( \displaystyle x_V = \frac{1}{-4}\) |
Coordenada y. \( \displaystyle y_V = \frac{4\,a\,c-b^2}{4\,a}\) \( \displaystyle y_V = \frac{4\,(-4)\,(5)-(-2)^2}{4\,(-4)}\) \( \displaystyle y_V = \frac{-80-4}{-16}\) \( \displaystyle y_V = \frac{-84}{-16}\) \( \displaystyle y_V = \frac{21}{4}\) |
Coordenadas del vértice.
\( \displaystyle V \left(-\frac{1}{4},\frac{21}{4}\right)\)
En la figura siguiente se ilustra el punto V correspondiente al vértice de la parábola. Es importante mencionar que para graficar este punto en el papel, se debe usar aproximación a un decimal. En este caso, se ubica aproximadamente el punto (– 0.3 , 5.3) que son valores aproximados a – 1/4 y 21/4 respectivamente.
Puntos de intersección con los ejes.
Corte al eje y: ( 0 , c )
Corte al eje y: A ( 0 , 5)
En la figura siguiente se ilustra el punto A correspondiente al corte de la parábola con el eje y.
Corte al eje x.
Determinación del número de cortes con el eje x.
b2 – 4 a c = 84 > 0. Existen dos cortes con el eje x.
Los valores de la abcisa en el punto de corte con el eje x se determina con la ecuación:
\( \displaystyle x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}\)
La ordenada correspondiente de dichos puntos es 0.
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x = \frac{-(-2)\pm\sqrt{84}}{2\,(-4)}\)
\( \displaystyle x = \frac{2\pm\sqrt{84}}{-8}\)
\( \displaystyle x = \frac{2\pm2\,\sqrt{21}}{-8}\)
Se obtienen dos valores para x.
|
\( \displaystyle x_1 = \frac{2+2\,\sqrt{21}}{-8}\) \( \displaystyle x_1 =-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{21}}{4}\) |
\( \displaystyle x_2 = \frac{2-2\,\sqrt{21}}{-8}\) \( \displaystyle x_2 =-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{21}}{4}\) |
Cortes al eje x: B \( \displaystyle \left(-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{21}}{4},0\right)\) y C \( \displaystyle \left(-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{21}}{4},0\right)\).
En la figura siguiente se ilustran los puntos B y C correspondientes a los cortes de la parábola con el eje x. Para graficar este punto en el papel, se debe usar aproximación a un decimal. En este caso, se ubican aproximadamente las abcisas – 1.4 y 0.9 que son valores aproximados a \( -\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{21}}{4}\) y \( -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{21}}{4}\) respectivamente.
Gráfica de la función.
Con todos los puntos obtenidos se traza la parábola.
Rango de la función.
Siendo la parábola cóncava hacia abajo, y a partir de la figura anterior:
Rgo f = ( – ∞ , yV ]
\( \text{Rgo}\,f = \left(-\infty,\frac{21}{4}\right]\)
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