Descripción
Se tiene un campo rectangular bordeado por un río, y se necesita bardar el terreno a lo largo de los tres lados no adyacentes al río. Si se tienen 100 m de barda, encuentre las dimensiones del campo rectangular sujeto a las condiciones de este problema, que tenga el área máxima.
Referencia: Ejemplo 1. Sección 5, Capítulo 4 del Johnson – Kiokemeister. Página 158.
Solución.
Sean x e y las dimensiones del terreno.
En la figura siguiente se ilustra el terreno a cercar.
Cantidad de cerca a utilizar: C = x + 2 y
Puesto que la cantidad de cerca es conocida, se tiene:
x + 2 y = 100 (Ecuación 1)
La función objetivo es el área cercada, que se expresa de la siguiente manera:
A = x y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo A en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\(\displaystyle y = \frac{100-x}{2}\)
\(y = 50-\frac{1}{2}x\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( A\,(x) = x\,(50-\frac{1}{2}x)\)
\( A\,(x) = 50\,x-\frac{1}{2}x^2\)
\( A\,(x) = -\frac{1}{2}x^2+50\,x\) , 0 ≤ x ≤ 100 (Ecuación 4)
Se ilustrarán dos mecanismos para obtener el extremo de la función A (x).
Primer mecanismo de solución.
La función A (x) es una función cuadrática. Al comparar la ecuación (4) con
A (x) = a x2 + b x + c, se tiene que:
\( a = -\frac{1}{2}\), b = 50, c = 0
Siendo \( a = -\frac{1}{2}\) (a < 0), la función cuadrática es cóncava hacia abajo y por lo tanto presenta un máximo.
El valor de la abcisa que genera el punto máximo está dado por:
\( \displaystyle x=-\frac{b}{2\,a}\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x=-\frac{50}{2\,(-\frac{1}{2})}\)
\( \displaystyle x=-\frac{50}{-1}\)
x = 50
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 50 en la ecuación (3):
\(y = 50-\frac{1}{2}(50)\)
y = 50 – 25
y = 25
Las dimensiones que generan el área máxima son:
x = 50 m
y = 25 m
Área máxima.
Para obtener el área máxima, se evalúa la función área (Ecuación 4) en x = 50.
Amax = A (50)
\( A\,(50) = -\frac{1}{2}(50)^2+50\,(50)\)
\( A\,(50) = -\frac{1}{2}(2500)+50\,(50)\)
A (50) = – 1250 + 2500
A (50) = 1250
Conclusión.
El área máxima es 1250 m2.
Segundo mecanismo de solución.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo del área:
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=-x+50\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1):
– x + 50 = 0
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
x = 50
Valor crítico: x = 50.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}=-1\)
Al evaluar en x = 50:
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=50}=-1\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=50}<0\), la función \( A\,(x) = -\frac{1}{2}x^2+50\,x\) presenta un máximo relativo en x = 50.
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 50 en la ecuación (3):
\(y = 50-\frac{1}{2}(50)\)
y = 50 – 25
y = 25
Finalmente, aplicamos el método tabular para determinar el extremo absoluto del área. La aplicación del método tabular consiste en evaluar la función objetivo en cada valor crítico así como en los extremos del intervalo que representa el dominio de la función.
En x = 0:
\( A\,(0) = -\frac{1}{2}(0)^2+50\,(0)\)
A (0) = 0
En x = 50:
\( A\,(50) = -\frac{1}{2}(50)^2+50\,(50)\)
\( A\,(50) = -\frac{1}{2}(2500)+2500\)
A (50) = – 1250 + 2500
A (50) = 1250
En x = 100:
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(100)^2+50\,(100)\)
\( A\,(100) = -\frac{1}{2}(10000)+5000\)
A (100) = – 5000 + 5000
A (100) = 0
|
x |
0 |
50 |
100 |
|
A (x) |
0 |
1250 |
0 |
El valor máximo del área ocurre en x = 50.
El valor máximo del área es: Amax = 1250.
Las dimensiones que generan el área máxima son:
x = 50 m
y = 25 m
El área máxima es 1250 m2.
