Descripción
Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de la orilla de un río; no se requiere cerca alguna a lo largo de la corriente. Si el material de la cerca cuesta $8 por pie lineal para los dos extremos y $12 por pie lineal para el lado paralelo al río, determinar las dimensiones del campo de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $3600 para la cerca.
Referencia:
Ejemplo 3. Sección 4.2 del Louis Leithold. Página 178.
Solución.
Sean x e y las dimensiones del terreno.
En la figura siguiente se ilustra el terreno a cercar.
Costo.
C = 12 (x) + 8 (2 y)
C = 12 x + 16 y
Puesto que el costo es conocido, se tiene:
12 x + 16 y = 3600
3 x + 4 y = 900 (Ecuación 1)
La función objetivo es el área cercada, que se expresa de la siguiente manera:
A = x y (Ecuación 2)
Es necesario expresar la función objetivo A en función de una sola variable. De la ecuación (1) se despeja la variable y:
\(\displaystyle y = \frac{900-3\,x}{4}\)
\(y = 225-\frac{3}{4}x\) (Ecuación 3)
Se sustituye la ecuación (3) en la ecuación (2):
\( A\,(x) = x\,(225-\frac{3}{4}x)\)
\( A\,(x) = 225\,x-\frac{3}{4}x^2\)
\( A\,(x) = -\frac{3}{4}x^2+225\,x\), 0 ≤ x ≤ 300 (Ecuación 4)
Se ilustrarán dos mecanismos para obtener el extremo de la función A (x).
Primer mecanismo de solución.
La función A (x) es una función cuadrática. Al comparar la ecuación (4) con
A (x) = a x2 + b x + c, se tiene que:
\( a = -\frac{3}{4}\), b = 225, c = 0
Siendo \( a = -\frac{3}{4}\) (a < 0), la función cuadrática es cóncava hacia abajo y por lo tanto presenta un máximo.
El valor de la abcisa que genera el punto máximo está dado por:
\( \displaystyle x=-\frac{b}{2\,a}\)
Al sustituir valores:
\( \displaystyle x=-\frac{225}{2\,(-\frac{3}{4})}\)
\( \displaystyle x=-\frac{225}{-\frac{3}{2}}\)
x = 150
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 150 en la ecuación (3):
\(y = 225-\frac{3}{4}(150)\)
\(y = 225-\frac{225}{2}\)
\(y = \frac{225}{2}\)
Conclusión.
Las dimensiones buscadas son:
x = 150 pies
\(y = \frac{225}{2}\) pies
Segundo mecanismo de solución.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Para un valor extremo del área:
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (4):
\( \displaystyle \frac{d\,A}{d\,x}=-\frac{3}{2}x+225\) (Ecuación 5)
Al aplicar la condición (1):
\( \displaystyle -\frac{3}{2}x+225=0\)
Resolver la ecuación anterior con el objeto de determinar los valores críticos.
\( \displaystyle \frac{3}{2}x=225\)
\( \displaystyle x=\frac{225}{\frac{3}{2}}\)
x = 150
Valor crítico: x = 150.
Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
Al derivar la ecuación (5):
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}=-\frac{3}{2}\)
Al evaluar en x = 150:
\( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=150}=-\frac{3}{2}\)
Puesto que \( \displaystyle \frac{d^2A}{d\,x^2}\,\bigg\vert_{x=150}<0\), la función \( A\,(x) = -\frac{3}{4}x^2+225\,x\) presenta un máximo relativo en x = 150.
El correspondiente valor de y se obtiene mediante la sustitución de x = 150 en la ecuación (3):
\(y = 225-\frac{3}{4}(150)\)
\(y = 225-\frac{225}{2}\)
\(y = \frac{225}{2}\)
Finalmente, aplicamos el método tabular para determinar el extremo absoluto del área. La aplicación del método tabular consiste en evaluar la función objetivo en cada valor crítico así como en los extremos del intervalo que representa el dominio de la función.
En x = 0:
\( A\,(0) = -\frac{3}{4}(0)^2+225\,(0)\)
A (0) = 0
En x = 150:
\( A\,(150) = -\frac{3}{4}(150)^2+225\,(150)\)
\( A\,(150) = -\frac{3}{4}(22500)+33750\)
A (150) = – 16875 + 33750
A (150) = 16875
En x = 300:
\( A\,(300) = -\frac{3}{4}(300)^2+225\,(300)\)
\( A\,(300) = -\frac{3}{4}(90000)+67500\)
A (300) = – 67500 + 67500
A (300) = 0
|
x |
0 |
150 |
300 |
|
A (x) |
0 |
16875 |
0 |
El valor máximo del área ocurre en x = 150.
El valor máximo del área es: Amax = 16875.
Conclusión.
Las dimensiones buscadas son:
x = 150 pies
\(y = \frac{225}{2}\) pies
