Descripción
Anillo con carga. La figura muestra un anillo delgado de radio R que tiene una carga positiva q distribuida uniformemente, de manera que la densidad de carga lineal es \(\displaystyle \lambda=\frac{Q}{2\,\pi\,R}\). a) Calcular la fuerza que ejerce el anillo sobre la carga puntual positiva q0, ubicada en el eje del anillo (que consideraremos como el eje positivo x), a una distancia x del centro del anillo. b) Demostrar que el resultado que se obtiene de la parte a) es \(\displaystyle F=\frac{k\,q_0Q}{x^2}\) para x >> R. Explicar el resultado. c) Determine el punto del valor máximo de la fuerza eléctrica y la fuerza eléctrica máxima.
Referencia:
Adaptado de la Sección 25-5 del Resnick – Halliday. Quinta Edición. Página 578.
Solución.
a) Se considera un elemento diferencial de carga (d q) sobre el anillo. La influencia que ejerce dicho elemento sobre la carga q0 colocada en el punto P es de repulsión, con un diferencial de fuerza eléctrica d F (orientado con un ángulo θ respecto a la horizontal). d F se descompone en sus componentes rectangulares d Fx y d Fy.
Componentes rectangulares de la fuerza eléctrica.
Componente horizontal.
\( \displaystyle d\,F_x = d\,F\,\cos\theta \) (1)
Componente vertical.
\( \displaystyle d\,F_y = d\,F\,\sin\theta \)
La fuerza que ejerce el diferencial de carga indicado y la fuerza del diferencial de carga correspondiente en el lado inferior son iguales y simétricos con respecto al eje x. Las componentes verticales de las fuerzas debidas a dichos diferenciales de carga se anulan entre sí, mientras que las componentes horizontales de las fuerzas son aditivas. Por simetría Fy = 0
Al integrar ambos miembros de la ecuación (1):
\( \displaystyle \int d\,F_x = \int d\,F\cos\theta\)
\( \displaystyle F_x = \int d\,F\cos\theta\) (2)
El diferencial de la fuerza eléctrica viene dado por:
\(\displaystyle d\,F=k\frac{q_0d\,q}{r^2}\) (3)
Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2):
\(\displaystyle F_x=\int_0^Qk\frac{q_0d\,q}{r^2}\cos\theta\)
\(\displaystyle F_x=k\,q_0\int_0^Q\frac{d\,q}{r^2}\cos\theta\) (4)
Distancia entre el elemento diferencial de carga (d q) y la carga q0.
r2 = x2 + R2 (5)
\(\displaystyle r=\sqrt{x^2+R^2}\) (6)
Ángulo que forma el diferencial de la fuerza eléctrica (d F) con la horizontal.
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{x}{r}\) (7)
Al sustituir la ecuación (6) en la ecuación (7):
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\) (8)
Al sustituir las ecuaciones (5) y (8) en la ecuación (4):
\(\displaystyle F_x=k\,q_0\int_0^Q\frac{d\,q}{x^2+R^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\)
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\int_0^Qd\,q\)
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}Q\)
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\) (9)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\mathbf{i}\) Unidades de fuerza. (10)
Fuerza eléctrica en función de la densidad lineal de carga del anillo.
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\mathbf{i}\)
Carga total del anillo.
\( \displaystyle \lambda = \frac{Q}{L}\) (11)
Al despejar la carga eléctrica:
Q = λ L (12)
Para un anillo: L = 2 π R. Al sustituir en la ecuación (12):
Q = λ (2 π R)
Q = 2 π λ R (13)
Al sustituir la ecuación (13) en la ecuación (10):
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,(2\,\pi\,\lambda\,R)\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\mathbf{i}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{2\,\pi\,k\,q_0\,\lambda\,R\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\mathbf{i}\) (14)
b) Fuerza eléctrica en un punto “alejado” del centro del anillo (x >> R).
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\) (9)
Si x >> R, entonces x2 + R2 ≈ x2.
Al sustituir en la ecuación (9):
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{x^3}\)
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q}{x^2}\)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q}{x^2}\mathbf{i}\) (15)
La fuerza eléctrica obtenida es la equivalente a la fuerza eléctrica existente entre dos cargas puntuales cuyos valores son q0 y Q separadas una distancia x, esto es, el anillo se comporta como una carga puntual.
c) Para un valor máximo de la fuerza eléctrica.
\(\displaystyle \frac{d\,F}{d\,x}=0\) (Condición 1)
Al derivar la ecuación (9):
\(\displaystyle \frac{d\,F}{d\,x}=\frac{k\,q_0\,Q\,(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}-k\,q_0\,Q\,[\frac{3}{2}(x^2+R^2)^{\frac{1}{2}}(2\,x)]}{(x^2+R^2)^3}\)
\(\displaystyle \frac{d\,F}{d\,x}=\frac{k\,q_0\,Q\,(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}-3\,k\,q_0\,Q\,x^2(x^2+R^2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+R^2)^3}\)
\(\displaystyle \frac{d\,F}{d\,x}=\frac{k\,q_0\,Q\,(x^2+R^2)^{\frac{2}{2}}(x^2+R^2-3\,x^2)}{(x^2+R^2)^3}\)
\(\displaystyle \frac{d\,F}{d\,x}=\frac{k\,q_0\,Q\,(x^2+R^2)^{\frac{2}{2}}(R^2-2\,x^2)}{(x^2+R^2)^3}\)
Al aplicar la condición (1):
\(\displaystyle \frac{k\,q_0\,Q\,(x^2+R^2)^{\frac{2}{2}}(R^2-2\,x^2)}{(x^2+R^2)^3}=0\)
R2 – 2 x2 = 0
2 x2 = R2
\(\displaystyle x=\frac{R}{\sqrt{2}}\) (16)
Fuerza eléctrica máxima.
\(\displaystyle F_x=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\) (9)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{k\,q_0\,Q\,x}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\bigg\vert_{x=\frac{R}{\sqrt{2}}}\)
Al sustituir la ecuación (16) en la ecuación (9):
\(\displaystyle F_{max}=\frac{\left(\frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\right)\,q_0\,Q\,\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)}{\left[\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2+R^2\right]^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q\,R}{4\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{2}\,(\frac{1}{2}R^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q\,R}{4\,\sqrt{2}\,\pi\,\epsilon_0\,(\frac{3}{2}R^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q\,R}{4\,\sqrt{2}\,\pi\,\epsilon_0\,(\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}}R^3}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q}{4\,\sqrt{2}\,\pi\,\epsilon_0\,[\frac{3}{2}(\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}}R^2]}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q}{6\,\sqrt{2}\,\pi\,\epsilon_0\,\sqrt{\frac{3}{2}}R^2}\)
\(\displaystyle F_{max}=\frac{q_0Q}{6\,\sqrt{3}\,\pi\,\epsilon_0\,R^2}\) (17) Unidades de fuerza.
