Descripción
Fuerza eléctrica debida a una barra con carga. Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q. Calcule la fuerza eléctrica sobre una carga puntual q0 en un punto P que se ubica a lo largo del eje largo de la barra y a una distancia a desde un extremo.
A rod of length L has a uniform positive charge per unit length λ and a total charge Q. Calculate the electric force on a point charge q0 at a point P that is located along the long axis of the rod and a distance a from one end.
Referencias:
Ejemplo 23.6 del Serway. Séptima Edición. Página 656.
Example 23.7 from Serway. Sixth Edition. Page 721.
Solución.
Se considera un elemento diferencial de carga (d Q) sobre la barra a una distancia x con respecto al eje y. La influencia que ejerce dicho elemento sobre la carga puntual q0 colocada en el origen es de repulsión, con un diferencial de fuerza d F (orientado hacia la parte negativa del eje x).
El diferencial de la fuerza eléctrica viene dado por:
\( \displaystyle d\,F = k\frac{q_0d\,Q}{r^2} \) (1)
Al integrar ambos miembros de la ecuación (1):
\( \displaystyle \int d\,F = \int k\frac{q_0d\,Q}{r^2} \)
\( \displaystyle F = k\,q_0\int \frac{d\,Q}{r^2} \) (2)
Para determinar el diferencial de carga, recurrimos a la definición de densidad lineal de carga:
\( \displaystyle \lambda = \frac{Q}{x} \)
Al despejar la carga:
Q = λ x
Al diferenciar con respecto a la longitud x:
d Q = λ d x (3)
Distancia entre el elemento diferencial de carga (d Q) y la carga q0.
r = x (4)
Al sustituir las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación (2):
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \int \frac{d\,x}{x^2} \)
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \int \frac{d\,x}{x^2} \)
Límites de integración.
Para hacer el recorrido de la varilla, la posición del elemento diferencial debe variar desde x = a (El extremo izquierdo de la varilla) hasta x = a + L (El extremo derecho de la varilla).
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \int_a^{a+L} \frac{d\,x}{x^2} \)
La integración conduce a:
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \left(-\frac{1}{x}\bigg\vert_a^{a+L}\right) \)
Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \left(-\frac{1}{a+L}+\frac{1}{a}\right) \)
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \left[\frac{-a+a+L}{a\,(a+L)}\right] \)
\( \displaystyle F = k\,q_0\lambda \left[\frac{L}{a\,(a+L)}\right] \)
\( \displaystyle F = \frac{k\,q_0\lambda\,L}{a\,(a+L)} \)
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\lambda\,L}{a\,(a+L)}\mathbf{i} \) Unidades de fuerza. (5)
Fuerza eléctrica en función de la carga total de la varilla.
\( \displaystyle \lambda = \frac{Q}{L} \) (6)
Al sustituir la ecuación (6) en la ecuación (5):
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\left(\frac{Q}{L}\right)L}{a\,(a+L)}\mathbf{i} \)
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\,Q}{a\,(a+L)}\mathbf{i} \) Unidades de fuerza. (7)
Aplicaciones de la ecuación de la fuerza eléctrica para una varilla.
Varilla infinita (L → ∞).
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\lambda\,L}{a\,(a+L)}\mathbf{i} \) (5)
Si L → ∞, entonces a + L ≈ L.
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\lambda\,L}{a\,L}\mathbf{i} \)
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\lambda}{a}\mathbf{i} \) Unidades de fuerza. (8)
Fuerza eléctrica en un punto “alejado” del extremo izquierdo de la varilla (a >> L).
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\,Q}{a\,(a+L)}\mathbf{i} \) (7)
Si a >> L, entonces a + L ≈ a.
\( \displaystyle \mathbf{F} = -\frac{k\,q_0\,Q}{a\,(a)}\mathbf{i} \)
\( \displaystyle \mathbf{F} = \frac{k\,q_0\,Q}{a^2}\mathbf{i} \)
\( \displaystyle \Vert\mathbf{F}\Vert = -\frac{k\,q_0\,Q}{a^2} \) Unidades de fuerza. (9)
La fuerza eléctrica obtenida es la equivalente a la fuerza eléctrica existente entre dos cargas puntuales cuyos valores son q0 y Q separadas una distancia a, esto es, la barra se comporta como una carga puntual.
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