Descripción
Una placa rectangular está apoyada por ménsulas en A y B y por un alambre CD. Se sabe que la tensión en el alambre es de 200 N, determine a) el momento con respecto a A de la fuerza ejercida por el alambre en el punto C, b) la distancia perpendicular desde el punto A hasta el cable CD.
Referencias:
Problema Resuelto 3.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 87.
Solución.
El vector fuerza FCD es único y tiene dos puntos sobre su línea de acción (C y D), sin embargo, dado que el vector posición debe ser trazado desde el punto de referencia para el cálculo del momento (A) hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza (C o D), existen dos configuraciones vectoriales que permiten determinar el momento de la fuerza dada con respecto al punto A.
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MA = rAC × FCD |
MA = rAD × FCD |
Se ha elegido la siguiente configuración de vectores para el cálculo del momento.
MA = rAC × FCD
Vector posición.
Punto de referencia para el cálculo del momento: A ( 0 , 0 , 0.32 )
Punto sobre la línea de acción de la fuerza: C ( 0.3 , 0 , 0.4 )
rAC = (0.3 – 0) i + (0 – 0) j + (0.4 – 0.32) k
rAC = 0.3 i + 0 j + 0.08 k
Fuerza.
FCD = || FCD || uCD
uCD: vector unitario de la dirección de la fuerza.
\(\displaystyle \mathbf{u}_{CD}=\frac{\mathbf{CD}}{\|\mathbf{CD}\|}\)
Coordenadas del punto C: C ( 0.3 , 0 , 0.4 )
Coordenadas del punto D: D ( 0 , 0.24 , 0.08 )
Vector CD.
CD = (0 – 0.3) i + (0.24 – 0) j + (0.08 – 0.4) k
CD = – 0.3 i + 0.24 j – 0.32 k
Módulo del vector CD.
\(\displaystyle \|\mathbf{CD}\|=\sqrt{(-0.3)^2+(0.24)^2+(-0.32)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{CD}\|=\sqrt{0.09+0.0576+0.1024}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{CD}\|=\sqrt{0.25}\)
|| CD || = 0.5
Vector unitario.
\(\displaystyle \mathbf{u}_{CD}=\frac{-0.3\,\mathbf{i}+0.24\,\mathbf{j}-0.32\,\mathbf{k}}{0.5}\)
\(\displaystyle \mathbf{u}_{CD}=\frac{-0.3\,\mathbf{i}}{0.5}+\frac{0.24\,\mathbf{j}}{0.5}-\frac{-0.32\,\mathbf{k}}{0.5}\)
uCD = – 0.6 i + 0.48 j – 0.64 k
Fuerza.
FCD = 200 (– 0.6 i + 0.48 j – 0.64 k)
FCD = (– 120 i + 96 j – 128 k) N
Momento.
\(\displaystyle \mathbf{M}_A=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0.3&0&0.08\\-120&96&-128\end{vmatrix}\)
MA = [(0) (– 128) – (96) (0.08)] i – [(0.3) (– 128) – (– 120) (0.08)] j + [(0.3) (96) – (– 120) (0)] k
MA = (0 – 7.68) i – (– 38.4 + 9.6) j + (28.8 – 0) k
MA = (– 7.68 i + 28.8 j + 28.8 k ) N.m
Módulo del momento.
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{M_{A,\,x}^2+M_{A,\,y}^2+M_{A,\,z}^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{(-7.68)^2+(28.8)^2+(28.8)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{58.9824+829.44+829.44}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{1717.8624}\)
|| MA || = 41.45 N.m
b) Distancia perpendicular desde el punto A hasta el cable AB.
|| MA || = || FCD || d
\(\displaystyle d=\frac{\|\mathbf{M}_A\|}{\|\mathbf{F}_{CD}\|}\)
\(\displaystyle d=\frac{41.45\,\text{N.m}}{200\,\text{N}}\)
d = 0.2072 m
