Descripción
El poste en la figura está sometido a una fuerza de 60 N dirigida de C a B. Determine la magnitud del momento generado por esta fuerza con respecto al soporte en A.
Referencia:
Ejemplo 4.4 del Hibbeler. Décima Edición. Página 124.
Solución.
El vector fuerza FCB es único y tiene dos puntos sobre su línea de acción (B y C), sin embargo, dado que el vector posición debe ser trazado desde el punto de referencia para el cálculo del momento (A) hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza (B o C), existen dos configuraciones vectoriales que permiten determinar el momento de la fuerza dada con respecto al punto A.
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| MA = rAC × FCB | MA = rAB × FCB |
Se ha elegido la siguiente configuración de vectores para el cálculo del momento.
MA = rAC × FCB
Vector posición.
Punto de referencia para el cálculo del momento: A ( 0 , 0 , 0 )
Punto sobre la línea de acción de la fuerza: C ( 3 , 4 , 0 )
rAC = (3 – 0) i + (4 – 0) j + (0 – 0) k
rAC = (3 i + 4 j + 0 k) m
Fuerza.
FCB = || FCB || uCB
uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.
\(\displaystyle \mathbf{u}_{CB}=\frac{\mathbf{CB}}{\|\mathbf{CB}\|}\)
Coordenadas del punto C: C ( 3 , 4 , 0 )
Coordenadas del punto B: B ( 1 , 3 , 2 )
Vector CB.
CB = (1 – 3) i + (3 – 4) j + (2 – 0) k
CB = – 2 i – j + 2 k
Módulo del vector CB.
\(\displaystyle \|\mathbf{CB}\|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(2)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{CB}\|=\sqrt{4+1+4}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{CB}\|=\sqrt{9}\)
|| CB || = 3
Vector unitario.
\(\displaystyle \mathbf{u}_{CD}=\frac{-2\,\mathbf{i}-\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}}{3}\)
\( \mathbf{u}_{CD}=-\frac{2}{3}\mathbf{i}-\frac{1}{3}\mathbf{j}+\frac{2}{3}\mathbf{k}\)
uCB = – 0.6667 i – 0.3333 j + 0.6667 k
Fuerza.
FCB = 60 (–0.6667 i – 0.3333 j + 0.6667 k)
FCB = (– 40 i – 20 j + 40 k) N
Momento.
\(\displaystyle \mathbf{M}_A=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\3&4&0\\-40&-20&40\end{vmatrix}\)
MA = [(4) (40) – (– 20) (0)] i – [(3) (40) – (– 40) (0)] j + [(3) (– 20) – (– 40) (4)] k
MA = (160 – 0) i – (120 – 0) j + (– 60 + 160) k
MA = (160 i – 120 j + 100 k) N.m
Módulo del momento resultante.
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{M_{A,\,x}^2+M_{A,\,y}^2+M_{A,\,z}^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{(160)^2+(-120)^2+(100)^2}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{25600+14400+10000}\)
\(\displaystyle \|\mathbf{M}_A\|=\sqrt{50000}\)
|| MA || = 223.61 N.m
Dirección del momento resultante.
| \(\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{M_{A,\,x}}{\|\mathbf{M}_A\|}\right)\) | \(\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{M_{A,\,y}}{\|\mathbf{M}_A\|}\right)\) | \(\displaystyle \gamma=\cos^{-1}\left(\frac{M_{A,\,z}}{\|\mathbf{M}_A\|}\right)\) |
| \(\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{160}{223.61}\right)\) | \(\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{-120}{223.61}\right)\) | \(\displaystyle \gamma=\cos^{-1}\left(\frac{60}{223.61}\right)\) |
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α = cos–1(0.7155) |
β = cos–1(– 0.5366) |
γ = cos–1(0.7682) |
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α = 44.31º |
β = 122.46º |
γ = 39.80º |
