Descripción
Calcular \( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}\).
Referencias:
Ejemplo 2. Sección 3, Capítulo 9 del Johnson – Kiokemeister. Página 335.
Problema 2. Sección 7.3 del Louis Leithold. Séptima Edición. Página 571.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
El integrando tiene la forma \( \displaystyle\sqrt{a^2-u^2}\), se hace la sustitución:
x = 2 sen θ
d x = 2 cos θ d θ
\( \displaystyle\sqrt{4 – x^2} = \sqrt{4 – (2 \sin \theta)^2} \)
\(\displaystyle\sqrt{4 – x^2}= \sqrt{4 – 4 \sin^2 \theta} \)
\(\displaystyle\sqrt{4 – x^2}= \sqrt{4\,(1 – \sin^2 \theta)} \)
\(\displaystyle\sqrt{4 – x^2}= \sqrt{4\,\cos^2 \theta} \)
\(\displaystyle\sqrt{4 – x^2}= 2 \cos \theta \)
Al sustituir \( \displaystyle\sqrt{4-x^2}=2\,\cos\theta\), d x = 2 cos θ d θ y x = 2 sen θ en la integral:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^ 2}=\int\frac{(2\,\cos\theta)\,(2\,\cos \theta\,d\,\theta)}{(2 \sin \theta)^2}\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\frac{4\,\cos^2\theta\,d\,\theta}{4\sin^2\theta}\)
Al simplificar los valores numéricos:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\frac{\,\cos^2\theta\,d\,\theta}{\sin^2\theta}\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\cot^2\theta\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int(\csc^2\theta-1)\,d\,\theta\)
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=\int\csc^2\theta\,d\,\theta-\int d\,\theta\)
La integración conduce a:
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x^2}=-\cot\theta-\theta+C\) (1)
Para volver a la variable original se debe definir cot θ en función de x.
Partiendo de la sustitución trigonométrica realizada:
x = 2 sen θ
\( \displaystyle \sin\theta=\frac{x}{2}=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)
Se construye un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto es x e hipotenusa es 2. El lado faltante, se determina con la aplicación del teorema de Pitágoras.
Observe que la magnitud del lado faltante coincide con la expresión \( \displaystyle\sqrt{4-x^2}\) que se encuentra en el integrando.
A partir del triángulo obtenido, se define cot θ.
\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Cateto opuesto}}\)
\( \displaystyle \cot\theta=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}\)
Al sustituir en la Ecuación (1):
\( \displaystyle \int\frac{\sqrt{4-x^2}\,d\,x}{x}=-\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}-\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C\)
